Ejercicio de integrales 23
En este ejercicio se nos pide calcular la siguiente integral:
$$ \int \frac{1 - x^2}{x^2 + 1} \ dx $$
Se trata de una integral racional sencilla, que puede resolverse de distintas maneras. A continuación se muestran dos procedimientos habituales, ambos claros y equivalentes.
Método 1
Empezamos reescribiendo el integrando de una forma que facilite el cálculo:
$$ \int \frac{(-1)\cdot(-1 + x^2)}{x^2 + 1} \ dx $$
$$ = - \int \frac{x^2 - 1}{x^2 + 1} \ dx $$
Ahora sumamos y restamos 1 en el numerador para poder simplificar la fracción:
$$ = - \int \frac{x^2 - 1 + 1 - 1}{x^2 + 1} \ dx $$
$$ = - \int \frac{(x^2 + 1) - 2}{x^2 + 1} \ dx $$
$$ = - \int \left( \frac{x^2 + 1}{x^2 + 1} - \frac{2}{x^2 + 1} \right) \ dx $$
De este modo, la integral se descompone en términos más simples:
$$ = - \left[ \int 1 \ dx - 2 \int \frac{1}{x^2 + 1} \ dx \right] $$
Calculando cada una de las integrales obtenemos:
$$ = -x + 2 \cdot \arctan(x) + C $$
Por tanto, una primitiva de la función es:
$$ \int \frac{1 - x^2}{x^2 + 1} \ dx = -x + 2 \cdot \arctan(x) + C $$
Método 2
También es posible abordar el problema separando directamente el integrando:
$$ \int \frac{1 - x^2}{x^2 + 1} \ dx = \int \left( \frac{1}{x^2 + 1} - \frac{x^2}{x^2 + 1} \right) \ dx $$
Gracias a la linealidad de la integral, podemos escribir:
$$ = \int \frac{1}{x^2 + 1} \ dx - \int \frac{x^2}{x^2 + 1} \ dx $$
La primera integral es bien conocida: ∫ 1/(x² + 1) dx = arctan(x) + C
Así, la expresión queda:
$$ \arctan(x) + C - \int \frac{x^2}{x^2 + 1} \ dx $$
Para resolver la integral restante, reescribimos el numerador como \( x^2 + 1 - 1 \):
$$ = \arctan(x) + C - \int \frac{x^2 + 1 - 1}{x^2 + 1} \ dx $$
$$ = \arctan(x) + C - \int \left( 1 - \frac{1}{x^2 + 1} \right) \ dx $$
Separando nuevamente los términos, obtenemos:
$$ = \arctan(x) + C - \left[ \int 1 \ dx - \int \frac{1}{x^2 + 1} \ dx \right] $$
$$ = \arctan(x) + C - \left[ x - \arctan(x) \right] $$
$$ = 2 \cdot \arctan(x) - x + C $$
Este resultado coincide con el obtenido mediante el primer método, lo que confirma la corrección del procedimiento.
Y así sucesivamente.
