Ejercicio de integrales 28

En este ejercicio se nos pide calcular la siguiente integral indefinida:

$$ \int x^{-\frac{1}{3}} \, dx $$

La expresión que aparece en la integral es una potencia de la variable \( x \). Por esta razón, la resolución se basa en la regla general de integración de funciones potencia, una de las más utilizadas en el cálculo integral:

$$ \int x^{n} \, dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C \quad \text{con } n \ne -1 $$

En este caso, el exponente es \( n = -\frac{1}{3} \). Al sustituirlo en la fórmula, se obtiene:

$$ \int x^{-\frac{1}{3}} \, dx = \frac{x^{-\frac{1}{3}+1}}{-\frac{1}{3}+1} + C $$

$$ = \frac{x^{\frac{2}{3}}}{\frac{2}{3}} + C $$

$$ = \frac{3}{2} x^{\frac{2}{3}} + C $$

Por lo tanto, el resultado final de la integral es:

$$ \frac{3}{2} x^{\frac{2}{3}} + C $$

Con esto queda resuelto el ejercicio.