Ejercicio resuelto de ecuaciones diferenciales: ecuación de variables separables
En este ejercicio resolveremos paso a paso la siguiente ecuación diferencial:
$$ 2x (y^2+1) - y' = 0 $$
Se trata de una ecuación diferencial ordinaria de primer orden, ya que la derivada de mayor orden que aparece es la primera derivada \( y' \).
Además, es una ecuación no lineal, porque la función incógnita aparece al cuadrado en el término \( y^2 \).
El primer paso consiste en despejar la derivada \( y' \):
$$ y' = 2x (y^2+1) $$
Una vez escrita de esta forma, observamos que la ecuación tiene la estructura \( y' = f(x)\,g(y) \). Esto indica que puede resolverse mediante el método de separación de variables, donde:
$$ f(x)=2x \qquad \text{y} \qquad g(y)=y^2+1 $$
Expresando la derivada con la notación de Leibniz, \( y'=\frac{dy}{dx} \), obtenemos:
$$ \frac{dy}{dx}=2x(y^2+1) $$
Ahora separamos las variables, agrupando los términos que dependen de \( y \) en un miembro y los que dependen de \( x \) en el otro:
$$ \frac{dy}{y^2+1}=2x\,dx $$
El siguiente paso consiste en integrar ambos miembros:
$$ \int \frac{dy}{y^2+1}=\int 2x\,dx $$
o, de forma equivalente,
$$ \int \frac{1}{y^2+1}\,dy=\int 2x\,dx $$
La integral del miembro izquierdo es:
$$ \arctan(y)+c_1=\int 2x\,dx $$
Nota. La derivada de la función arcotangente es $$ \frac{d}{dy}\arctan(y)=\frac{1}{1+y^2} $$ Por esta razón, una primitiva de \( \frac{1}{1+y^2} \) es \( \arctan(y) \).
La integral del miembro derecho es:
$$ \arctan(y)+c_1=x^2+c_2 $$
A continuación, reunimos las constantes de integración en una sola constante arbitraria:
$$ c=c_2-c_1 $$
De este modo, la expresión queda:
$$ \arctan(y)=x^2+c $$
Para despejar la incógnita \( y \), aplicamos la función tangente a ambos miembros:
$$ \tan(\arctan(y))=\tan(x^2+c) $$
Como la tangente y la arcotangente son funciones inversas, obtenemos:
$$ y=\tan(x^2+c) $$
Nota. La igualdad \( \tan(\arctan(y))=y \) es válida porque la función arcotangente devuelve el valor principal del ángulo, sobre el que ambas funciones son inversas.
Por tanto, la solución general de la ecuación diferencial es:
$$ y(x)=\tan(x^2+c) $$
Esta solución es válida en cualquier intervalo donde la función tangente esté definida, es decir, siempre que:
$$ x^2+c\neq\frac{\pi}{2}+k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z} $$
Con ello queda resuelta la ecuación diferencial.
