Fórmulas de la recta tangente a una elipse
Las fórmulas de la recta tangente permiten determinar la ecuación de la tangente en un punto \( P(x0, y0) \) de la elipse: $$ \frac{xx_0}{a^2} + \frac{yy_0}{b^2} = 1 $$
Esta fórmula solo es válida si el punto \( P(x0, y0) \) pertenece a la elipse. No se puede aplicar a puntos exteriores.
Si la elipse está centrada en un punto distinto del origen, la ecuación de la tangente en un punto \( P(x0, y0) \) sobre la elipse puede obtenerse mediante la siguiente fórmula de desdoblamiento:
$$ A xx_0 + B yy_0 + C \frac{x+x_0}{2} + D \frac{y+y_0}{2} + E = 1 $$
En ambos casos, se trata de una aplicación de la fórmula de desdoblamiento de cónicas al caso de la elipse.
Ejemplo
Consideremos la elipse dada por la ecuación:
$$ x^2 + 4y^2 = 40 $$
La reescribimos en su forma canónica dividiendo ambos miembros por 40:
$$ \frac{x^2 + 4y^2}{40} = \frac{40}{40} $$
$$ \frac{x^2}{40} + \frac{y^2}{10} = 1 $$
Así, \( a^2 = 40 \) y \( b^2 = 10 \).
Queremos encontrar la ecuación de la tangente a la elipse en el punto \( (2, 3) \).
$$ P(x_0, y_0) = (2, 3) $$
Aplicamos la fórmula de la tangente con \( x0 = 2 \) y \( y0 = 3 \):
$$ \frac{xx_0}{a^2} + \frac{yy_0}{b^2} = 1 $$
$$ \frac{x \cdot 2}{40} + \frac{y \cdot 3}{10} = 1 $$
$$ \frac{x}{20} + \frac{3y}{10} = 1 $$
$$ y = \frac{10}{3} \left( 1 - \frac{x}{20} \right) $$
$$ y = -\frac{1}{6}x + \frac{10}{3} $$
Esta es la ecuación de la recta tangente a la elipse en el punto \( P(2, 3) \).
Ejemplo 2
Consideremos ahora una elipse centrada en el punto \( P(3, 2) \):
$$ \frac{(x-3)^2}{40} + \frac{(y-2)^2}{10} = 1 $$
Desarrollamos esta ecuación para obtener su forma general:
$$ \frac{x^2-6x+9}{40} + \frac{y^2-4y+4}{10} = 1 $$
$$ \frac{x^2-6x+9}{40} + \frac{4(y^2-4y+4)}{40} = 1 $$
$$ \frac{x^2-6x+9 + 4(y^2-4y+4)}{40} = 1 $$
$$ x^2 - 6x + 9 + 4y^2 - 16y + 16 = 40 $$
$$ x^2 + 4y^2 - 6x - 16y + 25 - 40 = 0 $$
$$ x^2 + 4y^2 - 6x - 16y - 15 = 0 $$
Ya con la forma general \( Ax^2 + By^2 + Cx + Dy + E = 0 \), hallamos la ecuación de la tangente en el punto \( P(x_0, y_0) = (5, 5) \) sustituyendo \( x^2 \rightarrow xx_0 \) y \( y^2 \rightarrow yy_0 \):
$$ xx_0 + 4yy_0 - 6x - 16y - 15 = 0 $$
Luego sustituimos \( x \rightarrow \frac{x+x_0}{2} \) y \( y \rightarrow \frac{y+y_0}{2} \):
$$ xx_0 + 4yy_0 - 6 \left( \frac{x+x_0}{2} \right) - 16 \left( \frac{y+y_0}{2} \right) - 15 = 0 $$
$$ xx_0 + 4yy_0 - 3(x+x_0) - 8(y+y_0) - 15 = 0 $$
Finalmente, sustituimos \( x_0 = 5 \) y \( y_0 = 5 \):
$$ 5x + 20y - 3(x + 5) - 8(y + 5) - 15 = 0 $$
$$ 5x + 20y - 3x - 15 - 8y - 40 - 15 = 0 $$
$$ 2x + 12y - 70 = 0 $$
Esta es la ecuación de la tangente a la elipse en el punto \( P(5, 5) \).
Demostración
Partimos de la ecuación de la elipse:
$$ \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 $$
Supongamos que una recta tangente a esta elipse pasa por el punto \((x_0, y_0)\), que pertenece a la curva, por lo que:
$$ \frac{x_0^2}{a^2} + \frac{y_0^2}{b^2} = 1 $$
Consideremos una recta que pasa por el punto \((x_0, y_0)\):
$$ y = mx + c $$
Sustituimos esta ecuación en la de la elipse:
$$ \frac{x^2}{a^2} + \frac{(mx + c)^2}{b^2} = 1 $$
$$ \frac{x^2}{a^2} + \frac{m^2x^2 + 2mxc + c^2}{b^2} = 1 $$
Multiplicamos ambos miembros por \( a^2b^2 \) para eliminar los denominadores:
$$ b^2x^2 + a^2m^2x^2 + 2a^2mxc + a^2c^2 = a^2b^2 $$
Reorganizamos la ecuación en forma cuadrática:
$$ (b^2 + a^2m^2)x^2 + 2a^2mxc + (a^2c^2 - a^2b^2) = 0 $$
Para que esta recta sea tangente a la elipse, el discriminante de esta ecuación cuadrática debe ser igual a cero. Recordemos que el discriminante \(\Delta\) de una ecuación de segundo grado \(Ax^2 + Bx + C = 0\) es:
$$ \Delta = B^2 - 4AC $$
En nuestro caso, los coeficientes son: \( A = b^2 + a^2m^2 \), \( B = 2a^2mc \), y \( C = a^2c^2 - a^2b^2 \).
Calculamos el discriminante:
$$ \Delta = (2a^2mc)^2 - 4(b^2 + a^2m^2)(a^2c^2 - a^2b^2) $$
Desarrollamos los productos:
$$ \Delta = 4a^4m^2c^2 - 4[b^2a^2c^2 - b^2a^2b^2 + a^4m^2c^2 - a^4m^2b^2] $$
$$ \Delta = 4a^4m^2c^2 - 4b^2a^2c^2 + 4b^4a^2 - 4a^4m^2c^2 + 4a^4m^2b^2 $$
$$ \Delta = -4b^2a^2c^2 + 4b^4a^2 + 4a^4m^2b^2 $$
Igualamos a cero para obtener la condición de tangencia:
$$ -4b^2a^2c^2 + 4b^4a^2 + 4a^4m^2b^2 = 0 $$
Dividimos entre \(4a^2\):
$$ -b^2c^2 + b^4 + a^2m^2b^2 = 0 $$
Y simplificamos:
$$ b^2(b^2 + a^2m^2) = b^2c^2 $$
Dividiendo ambos miembros por \( b^2 \):
$$ b^2 + a^2m^2 = c^2 $$
Entonces:
$$ c^2 = b^2 + a^2m^2 $$
Para expresar \( m \) y \( c \) en función de \((x_0, y_0)\), usamos que \( y_0 = mx_0 + c \), por lo que:
$$ c = y_0 - mx_0 $$
Sustituimos en la ecuación anterior:
$$ b^2 + a^2m^2 = (y_0 - mx_0)^2 $$
Desarrollamos el cuadrado:
$$ b^2 + a^2m^2 = y_0^2 - 2y_0mx_0 + m^2x_0^2 $$
Aislamos los términos en \( m \):
$$ b^2 = y_0^2 - 2y_0mx_0 + m^2(x_0^2 - a^2) $$
Reordenamos todo en una ecuación cuadrática en \( m \):
$$ m^2(x_0^2 - a^2) - 2y_0mx_0 + (y_0^2 - b^2) = 0 $$
Aplicamos la fórmula general:
$$ m = \frac{-B \pm \sqrt{B^2 - 4AC}}{2A} $$
Donde: \( A = x_0^2 - a^2 \), \( B = -2y_0x_0 \), \( C = y_0^2 - b^2 \).
La condición de tangencia exige que el discriminante sea cero:
$$ (-2y_0x_0)^2 - 4(x_0^2 - a^2)(y_0^2 - b^2) = 0 $$
$$ 4y_0^2x_0^2 - 4(x_0^2 - a^2)(y_0^2 - b^2) = 0 $$
$$ y_0^2x_0^2 = (x_0^2 - a^2)(y_0^2 - b^2) $$
Desarrollamos ambos miembros:
$$ y_0^2x_0^2 = x_0^2y_0^2 - x_0^2b^2 - y_0^2a^2 + a^2b^2 $$
$$ - x_0^2b^2 - y_0^2a^2 + a^2b^2 = 0 $$
$$ x_0^2b^2 + y_0^2a^2 = a^2b^2 $$
Dividimos todo entre \( a^2b^2 \):
$$ \frac{x_0^2}{a^2} + \frac{y_0^2}{b^2} = 1 $$
Ya que \( (x_0, y_0) \) pertenece a la elipse y también está sobre la tangente, podemos sustituir \( x_0^2 \rightarrow x_0 x \), \( y_0^2 \rightarrow y_0 y \):
$$ \frac{x_0 x}{a^2} + \frac{y_0 y}{b^2} = 1 $$
Esta ecuación cumple la condición de tangencia para cualquier punto \( (x_0, y_0) \) sobre la elipse.
Y así concluye la demostración.
