Integral de x^(-2/3)

En este ejercicio vamos a calcular la integral de la función \( x^{-2/3} \), un caso típico dentro de las integrales de potencias:

$$ \int x^{- \frac{2}{3}} \, dx $$

Cuando la función tiene la forma \( x^n \), se puede utilizar directamente la regla de integración para potencias, válida siempre que el exponente sea distinto de -1:

$$ \int x^n \, dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + c, \quad \text{para } n \ne -1 $$

En nuestro caso, el exponente es \( n = -\frac{2}{3} \). Sustituimos este valor en la fórmula:

$$ \int x^{- \frac{2}{3}} \, dx = \frac{x^{- \frac{2}{3} + 1}}{- \frac{2}{3} + 1} + c $$

Ahora simplificamos paso a paso, tanto el exponente como el denominador:

$$ = \frac{x^{\frac{-2 + 3}{3}}}{\frac{-2 + 3}{3}} + c $$

$$ = \frac{x^{\frac{1}{3}}}{\frac{1}{3}} + c $$

Dividir entre \( \frac{1}{3} \) equivale a multiplicar por 3, por lo que obtenemos:

$$ = 3x^{\frac{1}{3}} + c $$

En conclusión, el resultado final de la integral es:

$$ \int x^{- \frac{2}{3}} \, dx = 3x^{\frac{1}{3}} + c $$