Axes de symétrie

Un axe de symétrie d'une figure géométrique est une droite qui partage cette figure en deux parties se correspondant comme dans un miroir. Plus précisément, si l'on effectue une symétrie axiale par rapport à cette droite, la figure reste inchangée : elle se superpose exactement à son image.

Le nombre et la position des axes de symétrie varient selon la forme et les propriétés géométriques de la figure. Certaines figures en possèdent plusieurs, d'autres un seul, tandis que certaines n'en ont aucun.

Voici les principaux cas que l'on rencontre en géométrie :

Triangle isocèle
Un triangle isocèle possède deux côtés de même longueur et un seul axe de symétrie. Celui-ci passe par le sommet principal et par le milieu de la base. Cette droite joue plusieurs rôles : elle est à la fois la médiane relative à la base, la hauteur issue du sommet principal, la médiatrice de la base et la bissectrice de l'angle au sommet.
Triangle équilatéral
Dans un triangle équilatéral, les trois côtés ont la même longueur et les trois angles la même mesure. Il possède trois axes de symétrie. Chacun passe par un sommet et par le milieu du côté opposé. Ces axes sont simultanément des médianes, des hauteurs, des médiatrices et des bissectrices.
Triangle scalène
Un triangle scalène possède trois côtés de longueurs différentes. Il n'admet aucun axe de symétrie : aucune droite ne permet de le partager en deux parties symétriques.
Carré
Le carré possède quatre côtés de même longueur et quatre angles droits. Il admet quatre axes de symétrie : ses deux diagonales et les deux droites qui passent par les milieux de deux côtés opposés.
Rectangle
Un rectangle possède deux axes de symétrie. Ils passent par les milieux de deux côtés opposés et par le centre du rectangle. En revanche, ses diagonales ne sont pas des axes de symétrie, sauf dans le cas particulier où le rectangle est un carré.
Losange
Un losange possède quatre côtés de même longueur. Ses deux diagonales sont ses deux axes de symétrie. En général, ses angles ne sont pas droits. Le carré constitue un cas particulier de losange.
Cerf-volant
Un cerf-volant est un quadrilatère qui possède deux paires de côtés consécutifs de même longueur. Dans le cas général d'un cerf-volant qui n'est pas un losange, il possède un seul axe de symétrie. Il s'agit de la diagonale reliant les deux sommets communs aux paires de côtés de même longueur. Cette diagonale partage le cerf-volant en deux parties symétriques et constitue la bissectrice des angles situés à ces deux sommets.
Pentagone régulier
Un pentagone régulier possède cinq côtés de même longueur et cinq angles de même mesure. Il admet cinq axes de symétrie. Chacun passe par un sommet, par le centre du pentagone et par le milieu du côté opposé à ce sommet.
Hexagone régulier
Un hexagone régulier possède six côtés de même longueur et six angles de même mesure. Il admet six axes de symétrie. Trois passent par deux sommets opposés, tandis que les trois autres passent par les milieux de deux côtés opposés. Tous ces axes traversent le centre de l'hexagone.
Cercle
Le cercle possède une infinité d'axes de symétrie. Toute droite passant par son centre constitue un axe de symétrie. Les deux points où cette droite coupe le cercle sont les extrémités d'un diamètre.

Remarques

La notion d'axe de symétrie peut être formulée de manière plus précise à l'aide de la notion de transformation géométrique :

Une droite est un axe de symétrie d'une figure si la symétrie axiale par rapport à cette droite laisse la figure invariante. Cela signifie que l'image obtenue après la transformation coïncide exactement avec la figure initiale.
Dans ce contexte, une « figure invariante » est une figure qui est transformée en elle-même par une transformation géométrique donnée, ici une symétrie axiale.

Ce principe permet de rechercher les axes de symétrie de nombreuses autres figures. Il suffit de déterminer si une droite peut jouer le rôle d'un miroir : après réflexion par rapport à cette droite, la figure doit se superposer exactement à elle-même.