Point fixe en géométrie

En géométrie, un point fixe (ou point invariant) est un point qui conserve sa position lorsqu'on lui applique une transformation géométrique.

Autrement dit, un point est fixe lorsque la transformation le laisse exactement à sa place. Son image se confond alors avec le point de départ. Dans un repère donné, ses coordonnées restent identiques avant et après la transformation.

Mathématiquement, considérons une application \( T: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2 \). Un point \( P \) est un point fixe de cette application si \( T(P) = P \). Cela signifie que le point est sa propre image par la transformation.

Prenons l'exemple d'une rotation dans le plan. Le centre de rotation \( P \) est un point fixe, car il ne change pas de position, quel que soit l'angle de rotation.

Une transformation géométrique peut cependant posséder plusieurs points fixes.

C'est notamment le cas d'une symétrie axiale d'axe \( r \). Tous les points situés sur cet axe restent fixes. En effet, chacun de ces points se confond avec son image par la symétrie.

Dans certaines situations, tous les points d'une figure peuvent même être fixes.

Par exemple, considérons une rotation de 360° autour d'un centre \( P \). Après un tour complet, chaque point retrouve exactement sa position initiale. Cette rotation est donc équivalente à l'application identité.

Dans ce cas, tous les points sont fixes. On dit que la figure est invariante point par point par la transformation.

Plus généralement, lorsqu'une transformation géométrique laisse tous les points du plan à leur place, on parle d'application identité, ou simplement d'identité. Cette transformation associe chaque point à lui-même, sans modifier sa position.

Remarque : Il faut distinguer une figure globalement invariante d'une figure dont tous les points sont fixes. Une transformation peut en effet déplacer les points d'une figure sans modifier la figure dans son ensemble.

Prenons, par exemple, la droite \( y = x \) et la transformation géométrique suivante : $$ T: \begin{cases} x' = x + 1 \\ y' = y + 1 \end{cases} $$ Cette transformation est une translation de vecteur \((1,1)\). Chaque point de la droite \( y = x \) est envoyé sur un autre point de cette même droite. La droite reste donc globalement invariante, mais aucun de ses points ne conserve sa position initiale.

Dans cet exemple, la droite est une figure invariante par la transformation considérée. Cette transformation est également une isométrie, car elle conserve les distances entre les points.

Il s'agit toutefois de deux propriétés différentes. Une isométrie conserve les distances, tandis qu'une figure est globalement invariante lorsque son image par la transformation est la figure elle-même. Ainsi, même si la droite reste inchangée dans son ensemble, aucun de ses points n'est fixe.

À l'inverse, certaines transformations géométriques ne possèdent aucun point fixe.

C'est le cas d'une translation de vecteur non nul. Tous les points sont déplacés dans la même direction, dans le même sens et sur la même distance. Aucun ne reste donc à sa position initiale.

Il existe cependant une exception : la translation de vecteur nul. Dans ce cas, aucun point ne se déplace et la transformation correspond à l'application identité.

Ces exemples montrent qu'une transformation géométrique peut posséder un seul point fixe, plusieurs points fixes, une infinité de points fixes ou, au contraire, aucun point fixe.

Remarque : La notion de point fixe ne se limite pas à la géométrie plane. Elle s'applique également aux transformations de l'espace à trois dimensions.

Le principe reste identique : un point est fixe lorsque son image par la transformation se confond avec lui-même. Dans un repère donné, ses coordonnées restent donc inchangées.

La seule différence concerne le nombre de coordonnées nécessaires pour repérer le point. Dans le plan, on utilise deux coordonnées \((x, y)\), tandis que dans l'espace, on en utilise trois \((x, y, z)\).

Cette notion se généralise également aux espaces de dimension supérieure et, plus largement, à toute application d'un ensemble dans lui-même.