Figure invariante

Une figure est dite invariante par une transformation lorsque son image coïncide avec la figure elle-même.

Autrement dit, après la transformation, la figure reste la même en tant qu'ensemble de points.

Cette situation se rencontre lorsqu'une transformation géométrique laisse globalement une figure inchangée.

Plus généralement, l'invariance par une transformation géométrique désigne le fait qu'un objet, une propriété ou une grandeur reste inchangé sous l'action de cette transformation. Selon le contexte, l'invariant peut être une figure, une distance, un angle, un alignement ou toute autre propriété géométrique.

La notion d'invariance est fondamentale dans l'étude des symétries et, plus largement, des transformations géométriques. Elle intervient notamment dans les isométries, qui conservent les distances, ainsi que dans les transformations conformes, qui conservent localement les angles.

Exemples de figures invariantes

Quelques exemples simples permettent de mieux comprendre cette notion :

• Une translation de vecteur nul laisse toute figure invariante, car chaque point est envoyé sur lui-même. Le vecteur de translation est alors le vecteur nul. $$\begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix} $$
• L'image d'une droite par une translation est une droite parallèle à la droite initiale. La droite elle-même n'est donc pas nécessairement invariante, mais sa direction est conservée. Si le vecteur de translation est parallèle à la droite, celle-ci est transformée en elle-même et constitue alors une figure invariante.
  
• Une rotation de 360°, c'est-à-dire d'un angle de \(2\pi\) radians, est l'identité du plan. Après un tour complet, chaque point retrouve sa position initiale. Toute figure est donc invariante par cette rotation.

En algèbre, un invariant désigne généralement un élément, une propriété ou une quantité qui reste inchangé sous l'action d'une transformation ou d'une opération donnée. Il faut toutefois distinguer cette notion de celle d'élément neutre. Ainsi, zéro est l'élément neutre de l'addition : $$ x + 0 = x $$ De même, un est l'élément neutre de la multiplication : $$ x \cdot 1 = x $$ Ces égalités expriment la propriété caractéristique d'un élément neutre et ne constituent pas, à proprement parler, des exemples de la notion générale d'invariant. Dans des domaines plus abstraits, comme la théorie des groupes ou l'arithmétique modulaire, la notion d'invariance reste fondamentale et prend des formes adaptées aux structures étudiées.

On rencontre ainsi de nombreux types d'invariants en géométrie comme en algèbre.

Invariance point par point et invariance globale

Une figure peut rester invariante de différentes manières. Il est notamment utile de distinguer l'invariance point par point de l'invariance globale.

• Invariance point par point
  Une figure est invariante point par point lorsque chacun de ses points est un point fixe de la transformation. Chaque point est donc envoyé sur lui-même et conserve exactement les mêmes coordonnées.

  Exemple. Dans une symétrie axiale, tous les points situés sur l'axe de symétrie (r) sont fixes. Ainsi, le point B est envoyé sur B', avec B' = B. Il en va de même pour tous les autres points de l'axe. L'axe de symétrie (r) est donc invariant point par point.
  

• Invariance globale
  Une figure est globalement invariante lorsque son image coïncide avec elle-même en tant qu'ensemble de points, même si certains de ses points changent de position. La figure reste donc la même, sans que chacun de ses points soit nécessairement fixe.

  Exemple. Dans une symétrie axiale d'axe (r), toute droite (r') perpendiculaire à l'axe (r) est transformée en elle-même. Ses points ne sont généralement pas fixes, mais leurs images appartiennent toujours à la même droite. Ainsi, le point A est envoyé sur A', qui possède des coordonnées différentes mais appartient toujours à la droite (r'). La droite (r') est donc globalement invariante par cette symétrie axiale.