La projection centrale en géométrie projective
La projection centrale, également appelée projection conique, est une construction géométrique qui consiste à projeter les points d'une figure de l'espace sur un plan à partir d'un point fixe P, appelé centre de projection. Pour chaque point de la figure, je trace une droite passant par P. Son intersection avec le plan de projection détermine l'image du point, à condition que cette intersection existe et soit unique.
Pour comprendre ce principe, je peux imaginer l'ombre d'un objet éclairé par une source lumineuse ponctuelle. Les rayons lumineux partent de la source, passent par l'objet et dessinent son ombre sur une surface.
Je prends un exemple simple avec un triangle ABC, un point P qui représente le centre de projection et un plan de projection q.
Je commence par tracer la droite passant par P et A, appelée droite projetante. Cette droite coupe le plan de projection en un point A', appelé projeté du point A.
Je répète ensuite la même opération pour le point B.
Je trace la droite passant par P et B. Son intersection avec le plan de projection me donne le point B', qui est le projeté de B.
Enfin, je trace la droite passant par P et C. Elle rencontre le plan de projection au point C', qui est le projeté de C.
J'ai maintenant obtenu les projections des trois sommets du triangle ABC sur le plan q, en utilisant P comme centre de projection.
Il me suffit de relier les points A', B' et C' pour construire le triangle A'B'C'. J'obtiens ainsi l'image du triangle ABC par projection centrale, à condition que la projection soit définie sur toute la figure et que les trois points projetés ne soient pas alignés.
La forme et les dimensions de cette image dépendent de plusieurs éléments : la géométrie du triangle initial, la position du centre de projection P, ainsi que la distance et l'inclinaison du plan de projection.
Voici un autre exemple de projection centrale.
Je peux observer que la projection centrale conserve certaines propriétés géométriques. En particulier, des points alignés restent alignés après projection, lorsque leurs images sont définies. Dans les configurations non dégénérées étudiées ici, un segment a pour image un segment, une figure convexe reste convexe et un triangle se projette sur un triangle. Ces propriétés supposent que la projection soit définie sur toute la figure, sans qu'aucun point ne soit envoyé à l'infini. En revanche, les longueurs, les angles et le parallélisme ne sont généralement pas conservés.
Je peux appliquer le même procédé à d'autres figures géométriques, y compris à des objets en trois dimensions. La projection centrale joue ainsi un rôle essentiel dans la représentation en perspective, notamment en dessin technique, en architecture et en infographie.
