La transformation affine

Une transformation affine est une application géométrique qui associe à chaque point du plan ou de l'espace un autre point, en combinant une application linéaire et une translation. Lorsqu'elle est bijective, elle conserve l'alignement des points et le parallélisme des droites, sans nécessairement préserver les distances ni les angles.

Une transformation affine bijective permet ainsi de déplacer, de faire tourner, d'agrandir, de réduire ou de déformer une figure. Malgré ces modifications, les droites restent des droites, les droites parallèles restent parallèles et l'ordre des points situés sur une même droite ne change pas.

L'alignement des points et le parallélisme des droites sont donc deux propriétés invariantes fondamentales des transformations affines bijectives.

En revanche, les longueurs, les angles et les aires peuvent varier. Une figure peut donc changer de forme. Par exemple, un triangle rectangle peut devenir un triangle acutangle ou obtusangle.

Mathématiquement, une transformation affine se compose d'une partie linéaire et d'une translation. Dans un repère affine, elle s'écrit :

$$ \mathbf{y} = A\mathbf{x} + \mathbf{b} $$

Dans cette expression, \( \mathbf{x} \) représente les coordonnées du point initial et \( \mathbf{y} \) celles de son image. La matrice \( A \) définit la partie linéaire de la transformation, tandis que \( \mathbf{b} \) est le vecteur de translation. Selon la matrice choisie, la transformation peut produire une rotation, une symétrie, un changement d'échelle ou un cisaillement.

Certaines transformations affines bijectives sont des isométries. Elles conservent les distances et les angles. Les autres transformations affines modifient au moins certaines distances et peuvent également changer les angles. Toutefois, toutes les transformations affines bijectives préservent l'alignement des points et le parallélisme des droites.

Exemples de transformations affines

Exemple 1 : une transformation affine non isométrique

Dans cet exemple, la transformation conserve l'alignement des points et le parallélisme des droites. Elle est donc affine. En revanche, certaines longueurs sont modifiées : il ne s'agit pas d'une isométrie. Les angles peuvent également changer.

Exemple 2 : une transformation affine isométrique

Cette fois, la transformation combine une rotation et une translation. Il s'agit d'une isométrie affine : les distances et les angles sont conservés, tout comme l'alignement des points et le parallélisme des droites. La figure obtenue est donc superposable à la figure initiale.

Le rapport des aires dans une transformation affine

Dans le plan, une transformation affine bijective multiplie l'aire de toute figure mesurable par un même facteur. Le rapport entre l'aire d'une figure et celle de son image est donc constant : $$ \frac{A_{S'}}{A_S} = k $$ Si $ S $ est une figure plane d'aire non nulle et $ S' $ son image, la constante \( k \) est le coefficient de multiplication des aires. Elle est égale à la valeur absolue du déterminant de la partie linéaire : \( k = |\det(A)| \).

Lorsque $ k = 1 $, la transformation conserve les aires. Toute figure plane mesurable et son image ont alors la même aire.

Les transformations affines bijectives qui conservent les aires sont appelées transformations équiaffines.

Exemple

Je considère un carré \(S\) de côté 2. Son aire est :

\( A_S = 2^2 = 4. \)

J'applique une transformation qui multiplie les coordonnées horizontales par 2, sans modifier les coordonnées verticales. Elle est définie par le système suivant :

\[ \begin{cases} x' = 2x \\ \\ y' = y \end{cases} \]

Le carré \(S\) devient un rectangle de longueur 4 et de largeur 2. L'aire de cette nouvelle figure \(S'\) est :

\( A_{S'} = 4 \times 2 = 8. \)

Je calcule maintenant le rapport entre l'aire du rectangle et celle du carré initial :

\[ \frac{A_{S'}}{A_S} = \frac{8}{4} = 2 = k. \]

Le coefficient de multiplication des aires vaut donc \(k = 2\). Cette transformation double l'aire de toute figure plane mesurable.

Remarque. Une rotation ou une translation conserve les aires. Dans ces deux cas, \(k = 1\) : la transformation est équiaffine. Plus généralement, une transformation affine bijective conserve les aires si et seulement si le déterminant de sa partie linéaire vérifie \( |\det(A)| = 1 \ ).

Les équations d'une transformation affine

En géométrie analytique, une transformation affine permet de calculer les coordonnées de l'image d'un point à partir de ses coordonnées initiales. Elle combine une application linéaire et une translation. Elle peut ainsi modifier la position, l'orientation ou les dimensions d'une figure, tout en conservant l'alignement et le parallélisme lorsque sa partie linéaire est inversible.

Dans le plan, une transformation affine s'exprime par le système d'équations suivant :

\[
\begin{cases}
x' = a x + b y + c \\ \\
y' = a' x + b' y + c'
\end{cases}
\]

Les coefficients \( a, b, a', b' \) définissent la partie linéaire de la transformation. Ils déterminent notamment les rotations, les changements d'échelle et les cisaillements. Les constantes \( c \) et \( c' \) sont les composantes du vecteur de translation dans le repère choisi.

Pour que la transformation affine soit bijective, le déterminant de sa partie linéaire doit être non nul :

\[ \det \begin{pmatrix} a & b \\ a' & b' \end{pmatrix} \ne 0 \]

Cette condition garantit que la matrice de la partie linéaire est inversible. Chaque point du plan possède alors une image unique et un unique antécédent. La transformation admet donc une réciproque, elle-même affine.

Le signe du déterminant permet également de distinguer deux types de transformations :

• La transformation affine directe
  Si le déterminant est positif, la transformation conserve l'orientation du plan. Elle est dite directe. \[ \det \begin{pmatrix} a & b \\ a' & b' \end{pmatrix} > 0 \]
  
• La transformation affine indirecte
  Si le déterminant est négatif, la transformation inverse l'orientation du plan. Elle est dite indirecte. Une telle transformation peut s'obtenir en combinant une réflexion avec une transformation affine directe. \[ \det \begin{pmatrix} a & b \\ a' & b' \end{pmatrix} < 0 \]
  

Une transformation affine directe préserve donc l'orientation des figures, tandis qu'une transformation indirecte l'inverse. Dans les deux cas, la figure peut également subir une translation, une rotation, un changement d'échelle ou une déformation.

Exemple d'application

Je considère un triangle dont les sommets sont \( A(1, 1), B(2, 3), C(3, 1) \). Je lui applique la transformation affine suivante :

\[
\begin{cases}
x' = 2x + y + 1 \\ \\
y' = x + y + 2
\end{cases}
\]

Je commence par calculer le déterminant de la partie linéaire :

\[
D =
\begin{vmatrix}
2 & 1 \\
1 & 1
\end{vmatrix}
= 2 \cdot 1 - 1 \cdot 1 = 1 > 0
\]

Le déterminant est positif. La transformation est donc directe et conserve l'orientation du triangle. De plus, puisqu'il vaut 1, elle conserve également les aires.

Je calcule ensuite les coordonnées des images des trois sommets en remplaçant \(x\) et \(y\) par leurs valeurs dans les équations de la transformation :

• A(1, 1) : \[ x'_A = 2(1) + 1 + 1 = 4 \] \[ y'_A = 1 + 1 + 2 = 4 \] → \( A′(4, 4) \)
• B(2, 3) : \[ x'_B = 2(2) + 3 + 1 = 8 \] \[ y'_B = 2 + 3 + 2 = 7 \] → \( B′(8, 7) \)
• C(3, 1) : \[ x'_C = 2(3) + 1 + 1 = 8 \] \[ y'_C = 3 + 1 + 2 = 6 \] → \( C′(8, 6) \)

Le triangle image a donc pour sommets \( A′(4, 4), B′(8, 7), C′(8, 6) \). Sa position et sa forme ont changé, mais l'orientation de ses sommets est conservée puisque le déterminant est positif. Enfin, comme ce déterminant vaut 1, le triangle image possède la même aire que le triangle initial.

Exemple 2 : une transformation affine indirecte

Je reprends le triangle de sommets \( A(1, 1), B(2, 3), C(3, 1) \), mais j'applique cette fois une transformation affine dont le déterminant est négatif :

\[
\begin{cases}
x' = x + 2y \\ \\
y' = 3x + y
\end{cases}
\]

Je commence par calculer le déterminant de la matrice associée à la partie linéaire :

\[
D =
\begin{vmatrix}
1 & 2 \\
3 & 1
\end{vmatrix}
= 1\cdot1 - 3\cdot2 = 1 - 6 = -5 < 0
\]

Le déterminant est négatif. La transformation est donc indirecte : elle inverse l'orientation du plan. On peut voir cette inversion comme l'effet d'une réflexion associée à une transformation affine directe. Toutefois, la figure obtenue n'est pas nécessairement le simple reflet de la figure initiale, car elle peut aussi être déformée.

Je calcule maintenant les coordonnées des images des trois sommets :

• A(1, 1) : \[ x'_A = 1 + 2(1) = 3 \] \[ y'_A = 3(1) + 1 = 4 \] → \( A′(3, 4) \)
• B(2, 3) : \[ x'_B = 2 + 2(3) = 8 \] \[ y'_B = 3(2) + 3 = 9 \] → \( B′(8, 9) \)
• C(3, 1) : \[ x'_C = 3 + 2(1) = 5 \] \[ y'_C = 3(3) + 1 = 10 \] → \( C′(5, 10) \)

Le triangle obtenu a pour sommets \( A′(3, 4), B′(8, 9), C′(5, 10) \). Son orientation est inversée : dans le triangle initial, les sommets \(A\), \(B\) et \(C\) se succèdent dans le sens horaire, tandis que dans le triangle image, ils se succèdent dans le sens antihoraire.

Le déterminant fournit donc deux informations essentielles. S'il est non nul, la transformation est inversible. Son signe indique si elle conserve ou inverse l'orientation du plan. Sa valeur absolue permet également de connaître le facteur de multiplication des aires. Ici, ce facteur vaut \( |-5| = 5 \) : l'aire du triangle image est cinq fois celle du triangle initial.

Les points fixes d'une transformation affine

Une transformation affine peut avoir un seul point fixe, n'en avoir aucun ou en posséder une infinité. Un point est dit fixe lorsque son image par la transformation est le point lui-même. Autrement dit, ses coordonnées ne changent pas.

Lorsqu'une transformation affine possède un unique point fixe, celui-ci peut jouer le rôle de centre de la transformation. C'est notamment le cas d'une homothétie de rapport différent de 1 ou d'une rotation dont l'angle n'est pas un multiple entier de \(2\pi\).

Une propriété importante en découle : si une transformation affine possède deux points fixes distincts, elle en possède nécessairement une infinité. En effet, tous les points de la droite passant par ces deux points sont également fixes.

Démonstration

Je pars de l'expression générale d'une transformation affine du plan :

\[ \begin{cases} x' = a x + b y + c \\ y' = a' x + b' y + c' \end{cases} \]

Pour qu'un point \( (x, y) \) soit fixe, son image doit avoir exactement les mêmes coordonnées. Je pose donc \( x' = x \) et \( y' = y \), ce qui donne :

\[ \begin{cases} x = a x + b y + c \\ y = a' x + b' y + c' \end{cases} \]

Je regroupe ensuite tous les termes dans le membre de gauche :

\[ \begin{cases} (a - 1)x + b y + c = 0 \\ a' x + (b' - 1)y + c' = 0 \end{cases} \]

Je peux aussi écrire ce système sous la forme :

\[ \begin{cases} (a - 1)x + b y = -c \\ a' x + (b' - 1)y = -c' \end{cases} \]

Pour trouver les points fixes, il me suffit donc de résoudre ce système d'équations linéaires. Trois cas sont possibles :

• Système compatible déterminé : le système admet une seule solution. La transformation possède donc un unique point fixe.
• Système incompatible : le système n'admet aucune solution. La transformation ne possède aucun point fixe.
• Système compatible indéterminé : le système admet une infinité de solutions. Les points fixes forment alors une droite entière ou, si la transformation est l'identité, le plan tout entier.

Une transformation affine du plan peut donc posséder zéro, un ou une infinité de points fixes, mais jamais exactement deux. Dès que deux points distincts sont fixes, tous les points de la droite qui les relie le sont également. Plus généralement, lorsqu'il n'est pas vide, l'ensemble des points fixes d'une application affine est un sous-espace affine.

Autres propriétés des transformations affines

Les transformations affines possèdent plusieurs propriétés qui permettent de comprendre comment les figures géométriques se comportent lorsqu'on les déplace ou qu'on les déforme. Voici les principales, dans le cas des transformations affines bijectives :

• Conservation des parallélogrammes
  Une transformation affine bijective conserve le parallélisme des droites. Un parallélogramme reste donc un parallélogramme après transformation. Sa position, ses dimensions et ses angles peuvent changer, mais ses côtés opposés restent parallèles.
• Conservation de l'incidence
  Si deux droites se coupent en un point $ P $, leurs images se coupent également en un point $ P' $, qui est l'image de $ P $ par la transformation. Les relations d'incidence entre les points et les droites sont donc conservées.
• Conservation du type des coniques
  Une transformation affine bijective conserve le type des coniques réelles non dégénérées. Une ellipse reste une ellipse, une parabole reste une parabole et une hyperbole reste une hyperbole. Un cercle, qui est un cas particulier d'ellipse, peut ainsi devenir une ellipse dont les deux demi-axes ont des longueurs différentes.
• Les isométries et les similitudes comme cas particuliers
  Les isométries et les similitudes sont des cas particuliers de transformations affines bijectives du plan euclidien. Toute isométrie est une similitude de rapport 1, et toute similitude est une transformation affine. L'ensemble des transformations affines bijectives contient donc celui des similitudes, qui contient à son tour celui des isométries.
  
• Les dilatations suivant les axes comme transformations affines
  Une dilatation suivant les axes de coordonnées est un cas particulier de transformation affine. Elle consiste à multiplier les coordonnées horizontales et verticales par deux facteurs d'échelle \( h \) et \( k \), qui peuvent être différents. Pour que la transformation soit bijective, ces deux facteurs doivent être non nuls : \( h \ne 0 \) et \( k \ne 0 \). Elle s'écrit : $$ \begin{cases} x' = h x + p \\[4pt] y' = k y + q \end{cases} $$ Dans ces équations, \( h \) détermine le facteur d'échelle suivant l'axe \( x \), tandis que \( k \) joue le même rôle suivant l'axe \( y \). Les constantes \( p \) et \( q \) représentent les composantes du vecteur de translation. Lorsque les valeurs absolues de \( h \) et \( k \) sont différentes, la figure subit un changement d'échelle non uniforme. Si l'un des facteurs est négatif, le sens de l'axe correspondant est également inversé.

  Remarque. Puisque les deux facteurs d'échelle sont non nuls, le déterminant de la matrice associée à la partie linéaire est lui aussi non nul. La transformation est donc bijective et possède une application réciproque affine : $$ \begin{vmatrix} h & 0 \\ 0 & k \end{vmatrix} = hk \ne 0 $$

• Conditions pour qu'une transformation affine soit une isométrie
  Dans un repère orthonormé du plan euclidien, une transformation affine est une isométrie si et seulement si la matrice de sa partie linéaire est orthogonale. Cela signifie que ses colonnes sont de norme 1 et perpendiculaires entre elles. Les coefficients doivent donc vérifier les trois conditions suivantes : $$ \begin{cases} a^2 + a'^2 = 1 \\ b^2 + b'^2 = 1 \\ ab + a'b' = 0 \end{cases} $$
• Conditions pour qu'une transformation affine soit une similitude
  Dans un repère orthonormé du plan euclidien, une transformation affine est une similitude si et seulement si les colonnes de sa matrice linéaire sont perpendiculaires et de même norme strictement positive. Ses coefficients doivent donc vérifier les conditions suivantes : $$ a^2 + a'^2 = b^2 + b'^2 > 0 $$ $$ ab + a'b' = 0 $$ Le rapport de similitude, toujours positif, est alors donné par : $$ k = \sqrt{a^2 + a'^2} = \sqrt{b^2 + b'^2} $$

Les transformations affines permettent ainsi d'étudier les déplacements, les changements d'échelle et les déformations des figures géométriques dans un même cadre mathématique. Lorsqu'elles sont bijectives, elles conservent l'alignement des points, le parallélisme des droites et les relations d'incidence, même si les distances et les angles peuvent changer.