Conditions nécessaires et suffisantes pour qu'une transformation affine soit une isométrie
Dans le plan euclidien muni d'un repère orthonormé, une transformation affine est une isométrie si et seulement si les coefficients de sa partie linéaire vérifient les trois conditions suivantes : $$ \begin{cases} a^2 + a'^2 = 1 \\ b^2 + b'^2 = 1 \\ ab + a'b' = 0 \end{cases} $$ Ces conditions signifient que la matrice de la partie linéaire est orthogonale. Elles garantissent que la transformation conserve les distances entre tous les points du plan.
Démonstration étape par étape
Comment savoir si une transformation affine conserve les distances ? Pour le déterminer, je pars de son expression générale dans un repère orthonormé du plan euclidien :
\[
\begin{cases}
x' = a x + b y + c \\ \\
y' = a' x + b' y + c'
\end{cases}
\]
La partie linéaire de cette transformation est représentée par la matrice :
\[ \begin{pmatrix} a & b \\ a' & b' \end{pmatrix} \]
Pour que la transformation affine soit bijective, le déterminant de cette matrice doit être non nul. Cela signifie que la transformation est inversible : elle ne peut pas réduire tout le plan à une droite ou à un point.
Je vais montrer que les conditions permettant de conserver les distances garantissent également cette inversibilité.
1. Distance initiale entre deux points
Je considère deux points quelconques du plan, \( A(x_A, y_A) \) et \( B(x_B, y_B) \). Dans un repère orthonormé, leur distance euclidienne se calcule avec la formule :
$$ \overline{AB} = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2} $$
Pour simplifier les calculs, je note \( \Delta x \) et \( \Delta y \) les différences entre les coordonnées des deux points. La distance s'écrit alors :
$$ \overline{AB} = \sqrt{ (\Delta x)^2 + (\Delta y)^2 } $$
2. Images des points par la transformation
J'applique maintenant la transformation affine aux points \( A \) et \( B \). Leurs images, notées \( A' \) et \( B' \), ont pour coordonnées :
\[
\begin{cases}
x'_A = a x_A + b y_A + c \\ \\
y'_A = a' x_A + b' y_A + c'
\end{cases}
\]
\[
\begin{cases}
x'_B = a x_B + b y_B + c \\ \\
y'_B = a' x_B + b' y_B + c'
\end{cases}
\]
3. Distance entre les points images
Je cherche maintenant à calculer la distance entre les points images \( A' \) et \( B' \). J'utilise la même formule que précédemment :
$$ \overline{A'B'} = \sqrt{(x'_B - x'_A)^2 + (y'_B - y'_A)^2} $$
En remplaçant les coordonnées par leurs expressions, je remarque que les termes constants \( c \) et \( c' \) s'annulent lorsqu'on calcule les différences. J'obtiens donc :
$$ \overline{A'B'} = \sqrt{[a(x_B - x_A) + b(y_B - y_A)]^2 + [a'(x_B - x_A) + b'(y_B - y_A)]^2} $$
En posant \( \Delta x = x_B - x_A \) et \( \Delta y = y_B - y_A \), je peux simplifier cette expression :
$$ \overline{A'B'} = \sqrt{[a \Delta x + b \Delta y]^2 + [a' \Delta x + b' \Delta y]^2} $$
4. Développement et regroupement des termes
Pour comparer les distances avant et après la transformation, je développe les deux carrés, puis je regroupe les termes semblables. La distance entre les points images devient :
$$ \overline{A'B'} = \sqrt{(a^2 + a'^2)(\Delta x)^2 + (b^2 + b'^2)(\Delta y)^2 + 2(ab + a'b')(\Delta x \Delta y)} $$
Cette expression fait apparaître trois coefficients qui dépendent uniquement de la transformation. Ce sont eux qui vont permettre de déterminer si les distances sont conservées.
5. Conditions de conservation des distances
Une transformation est une isométrie lorsqu'elle conserve la distance entre deux points quelconques du plan. Il faut donc que :
$$ \overline{AB} = \overline{A'B'} $$
En remplaçant les deux distances par les expressions obtenues précédemment, j'arrive à l'égalité :
$$ \sqrt{ (\Delta x)^2 + (\Delta y)^2 } = \sqrt{ (a^2 + a'^2)(\Delta x)^2 + (b^2 + b'^2)(\Delta y)^2 + 2(ab + a'b')(\Delta x \Delta y) } $$
Cette égalité doit être vérifiée quelles que soient les valeurs réelles de \( \Delta x \) et de \( \Delta y \). Pour trouver les conditions correspondantes, j'élève les deux membres au carré et je compare les coefficients des termes \( (\Delta x)^2 \), \( (\Delta y)^2 \) et \( \Delta x \Delta y \).
Les coefficients des deux termes quadratiques doivent être égaux à 1, tandis que le coefficient du terme mixte doit être nul.
J'obtiens ainsi les trois conditions nécessaires et suffisantes pour qu'une transformation affine soit une isométrie :
$$ \begin{cases} a^2 + a'^2 = 1 \\ b^2 + b'^2 = 1 \\ ab + a'b' = 0 \end{cases} $$
Ces conditions sont également suffisantes : lorsqu'elles sont vérifiées, l'expression de la distance entre les points images devient exactement celle de la distance initiale, quels que soient les deux points choisis.
Conclusion
Les trois conditions obtenues permettent de reconnaître une isométrie affine du plan euclidien. Elles expriment le fait que les deux vecteurs colonnes de la matrice de la partie linéaire sont de norme 1 et orthogonaux entre eux. Ces vecteurs forment donc une base orthonormée, ce qui signifie que la matrice est orthogonale.
Une matrice orthogonale est toujours inversible. Sa partie linéaire conserve les produits scalaires, les longueurs et les angles. La transformation affine conserve donc les distances et les angles, même en présence d'une translation.
Selon les cas, une isométrie du plan peut être une translation, une rotation, une réflexion orthogonale ou une symétrie glissée. Les isométries directes conservent l'orientation du plan, tandis que les isométries indirectes la renversent. Le déterminant de leur partie linéaire vaut respectivement \( +1 \) ou \( -1 \).
