Homothétie

Une homothétie est une transformation géométrique qui permet d'agrandir ou de réduire une figure sans en modifier la forme ni les proportions. Elle est définie par un point fixe O et un nombre réel non nul k. Chaque point de la figure est transformé de manière à multiplier sa distance au centre O par la valeur absolue de k.
Exemple d'une homothétie de rapport positif
Le point O est appelé centre de l'homothétie et le nombre k, rapport de l'homothétie.

Homothétie de rapport positif ou négatif
Exemple : agrandir et réduire un carré
Équations d'une homothétie dans le plan
Homothétie dans l'espace à trois dimensions
Propriétés et remarques importantes

Homothétie de rapport positif ou négatif

Une homothétie permet d'agrandir ou de réduire une figure tout en conservant ses propriétés essentielles : l'alignement des points, le parallélisme et les rapports de longueurs.

Pour comprendre son fonctionnement, je considère un triangle ABC. Je choisis un point O comme centre de l'homothétie et un nombre réel non nul k comme rapport.

Centre O d'une homothétie appliquée au triangle ABC

Je prends le vecteur $ \overrightarrow{OA} $ et je le multiplie par k. J'obtiens un nouveau vecteur $ \overrightarrow{OA'} $, de même origine et colinéaire au premier. Sa longueur est multipliée par |k|. Son sens dépend du signe de k : il reste le même si k est positif et s'inverse si k est négatif.

$$ \overrightarrow{OA'} = k \times \overrightarrow{OA} $$

Cette relation permet de construire le point A', image de A par l'homothétie. Les points O, A et A' sont donc alignés.

Construction du point A' par une homothétie de centre O

La distance OA' est égale à la distance OA multipliée par |k|. Autrement dit, OA' = |k| × OA. Le signe de k indique de quel côté du centre O se trouve le point A'.

Remarque : J'utilise des vecteurs, comme $ \overrightarrow{OA} $, plutôt que des segments, comme $ \overline{OA} $, car une homothétie ne dépend pas seulement des distances, mais aussi du sens de la transformation. Lorsque le rapport est négatif (k<0), le vecteur image est de sens opposé au vecteur initial.

Je répète ensuite la même construction pour les points B et C afin d'obtenir leurs images B' et C'.

Le nouveau triangle A'B'C' est semblable au triangle ABC. Les côtés correspondants sont parallèles et leurs longueurs restent proportionnelles.

Dans cet exemple, le triangle obtenu est un agrandissement du triangle initial.

Agrandissement du triangle ABC par une homothétie

Le résultat dépend de la valeur du rapport k :

Si |k| > 1, la figure est agrandie.
Si 0 < |k| < 1, la figure est réduite.
Si k = 1, l'homothétie est l'application identité : chaque point reste à sa place et la figure ne change pas.
Si k = -1, l'homothétie correspond à une symétrie centrale de centre O.

Mais la valeur absolue de k ne suffit pas à décrire entièrement la transformation. Son signe détermine également la position des points images par rapport au centre.

Je distingue donc deux cas :

Homothétie de rapport positif
Lorsque k > 0, chaque point et son image se trouvent sur la même demi-droite d'origine O. Si k > 1, le point A' est plus éloigné du centre que A. Si 0 < k < 1, il se trouve entre O et A.
Homothétie de rapport négatif
Lorsque k < 0, le point A et son image A' se trouvent de part et d'autre du centre O, sur deux demi-droites opposées. Cette transformation équivaut à une homothétie de rapport |k| suivie d'une symétrie centrale de centre O.

À quoi sert une homothétie ? Elle permet de changer l'échelle d'une figure sans en modifier les proportions. C'est un outil important pour étudier les figures semblables, comparer des longueurs et comprendre les propriétés géométriques conservées lors d'un agrandissement ou d'une réduction.

Exemple : agrandir et réduire un carré

Je considère un carré de côté a, dont le centre coïncide avec le centre d'homothétie O.

Carré initial de côté a et de centre O

J'applique d'abord une homothétie de rapport k=2. Toutes les longueurs sont multipliées par deux. Le nouveau carré a donc pour côté 2a.

J'obtiens un agrandissement du carré initial.

Agrandissement d'un carré par une homothétie de rapport 2

Si j'applique au carré initial une homothétie de rapport k = 0.5, toutes les longueurs sont divisées par deux. Le carré obtenu a alors pour côté a/2.

Cette fois, il s'agit d'une réduction.

Réduction d'un carré par une homothétie de rapport 0,5

Le rapport k détermine donc les dimensions de la figure obtenue. Mais sa position dépend aussi du centre d'homothétie.

Pour le vérifier, je reprends le même carré et je choisis cette fois le point O(2,3) comme centre d'homothétie.

Carré initial avec un centre d'homothétie O de coordonnées (2,3)

J'applique à nouveau une homothétie de rapport k=2. Le carré image a toujours pour côté 2a.

Agrandissement d'un carré par une homothétie de centre O(2,3)

Le carré obtenu a les mêmes dimensions que dans le premier exemple, mais il n'occupe pas la même position dans le plan. Le choix du centre d'homothétie modifie donc la position de la figure image, sans changer son facteur d'agrandissement.

Équations d'une homothétie dans le plan

Je peux aussi décrire une homothétie à l'aide des coordonnées cartésiennes. Je commence par le cas le plus simple : une homothétie de rapport k dont le centre O est l'origine du repère, soit O(0,0).

Pour obtenir les coordonnées du point image, il suffit de multiplier celles du point initial par k :

$$ \begin{cases} x' = k \cdot x \\ \\ y' = k \cdot y \end{cases} $$

Dans ces équations, k est le rapport de l'homothétie, (x, y) sont les coordonnées du point initial et (x', y') celles de son image.

Comme k est non nul, l'homothétie est bijective : chaque point image possède un unique antécédent. Je peux donc retrouver les coordonnées du point initial en appliquant l'homothétie réciproque, de même centre et de rapport 1/k.

Les équations deviennent :

$$ \begin{cases} x = \dfrac{1}{k} \cdot x' \\ \\ y = \dfrac{1}{k} \cdot y' \end{cases} $$

Que se passe-t-il si le centre d'homothétie ne se trouve pas à l'origine du repère ? Je considère alors un centre quelconque O(x₀, y₀).

Les équations de l'homothétie s'écrivent :

$$ \begin{cases} x' = x_0 + k \cdot (x - x_0) \\ \\ y' = y_0 + k \cdot (y - y_0) \end{cases} $$

Ces formules permettent de calculer les coordonnées de l'image de n'importe quel point du plan, en tenant compte de la position du centre O(x₀, y₀).

Exemple : Je considère une homothétie de rapport k=2 et de centre O(2,3). Les coordonnées du centre sont donc x₀=2 et y₀=3.
Calcul des coordonnées de l'image d'un point par une homothétie de centre O(2,3)
Je cherche les coordonnées de l'image A' du point A(3,2). Je pars des équations générales de l'homothétie : $$ \begin{cases} x' = x_0 + k \cdot (x - x_0) \\ \\ y' = y_0 + k \cdot (y - y_0) \end{cases} $$ Je remplace d'abord k par 2, en tenant compte des coordonnées du centre : $$ \begin{cases} x' = x_0 + 2 \cdot (x - 2) \\ \\ y' = y_0 + 2 \cdot (y - 3) \end{cases} $$ Puis je remplace x₀ par 2 et y₀ par 3 : $$ \begin{cases} x' = 2 + 2 \cdot (x - 2) \\ \\ y' = 3 + 2 \cdot (y - 3) \end{cases} $$ Je remplace ensuite x et y par les coordonnées de A, soit x=3 et y=2 : $$ \begin{cases} x' = 2 + 2 \cdot (3 - 2) \\ \\ y' = 3 + 2 \cdot (2 - 3) \end{cases} $$ Je calcule les différences entre parenthèses : $$ \begin{cases} x' = 2 + 2 \cdot (1) \\ \\ y' = 3 + 2 \cdot (-1) \end{cases} $$ J'effectue les multiplications, puis les additions : $$ \begin{cases} x' = 2 + 2 \\ \\ y' = 3 - 2 \end{cases} $$ J'obtiens : $$ \begin{cases} x' = 4 \\ \\ y' = 1 \end{cases} $$ Le point A' a donc pour coordonnées (4,1). $$ \begin{cases} x' = 4 \\ \\ y' = 1 \end{cases} $$ En répétant ce calcul pour les autres sommets du carré, je peux déterminer les coordonnées de leurs images B', C' et D'.

Homothétie dans l'espace à trois dimensions

L'homothétie ne s'applique pas seulement aux figures du plan. Elle permet aussi d'agrandir ou de réduire des figures dans l'espace à trois dimensions, tout en conservant leur forme et leurs proportions. Comme dans le plan, elle est définie par un point fixe O, appelé centre de l'homothétie, et un nombre réel non nul k, appelé rapport de l'homothétie. Toutes les distances sont multipliées par |k|, ce qui garantit que la figure image reste semblable à la figure initiale.

Le principe est le même que dans le plan, mais la transformation agit désormais sur les trois coordonnées de chaque point de l'espace.

Exemple d'une homothétie dans l'espace à trois dimensions

Je considère un point fixe $ O $ de l'espace et un nombre réel non nul $ k \neq 0 $, appelé rapport de l'homothétie.

L'homothétie de centre $ O $ et de rapport $ k $ associe à chaque point $ P(x, y, z) $ un point image $ P'(x', y', z') $.

Cette transformation est définie par la relation vectorielle :

\[ \overrightarrow{OP'} = k \overrightarrow{OP} \]

En identifiant les points à leurs vecteurs de position, je peux également écrire :

\[ P' = O + k (P - O) \]

Si le centre de l'homothétie a pour coordonnées $ O(x_0, y_0, z_0) $ et le point initial $ P(x, y, z) $, je calcule les coordonnées de son image $ P'(x', y', z') $ à l'aide des trois équations suivantes :

\[ x' = x_0 + k (x - x_0) \]

\[ y' = y_0 + k (y - y_0) \]

\[ z' = z_0 + k (z - z_0) \]

Géométriquement, les points $ O $, $ P $ et $ P' $ sont alignés. La distance OP' est égale à la distance OP multipliée par |k|.

Si $ k > 0 $, les points $ P $ et $ P' $ se trouvent sur la même demi-droite d'origine $ O $. Si $ k < 0 $, ils se situent de part et d'autre du centre, sur deux demi-droites opposées. Dans les deux cas, l'homothétie conserve les rapports de longueurs, l'alignement des points et le parallélisme.

Homothétie de rapport positif ou négatif

Dans l'espace à trois dimensions, le signe du rapport $ k $ joue un rôle essentiel. Il détermine la position des points images par rapport au centre $ O $ et indique si la transformation conserve ou inverse l'orientation de l'espace.

Homothétie de rapport positif
Lorsque $ k > 0 $, chaque point et son image se trouvent sur la même demi-droite d'origine $ O $. Si $ k > 1 $, la figure est agrandie. Si $ 0 < k < 1 $, elle est réduite. Par exemple, avec $ k = 2 $, toutes les longueurs du solide sont doublées, sans modifier sa forme ni son orientation. Lorsque $ k = 1 $, la transformation est l'identité : tous les points restent à leur place.
Homothétie de rapport négatif
Lorsque $ k < 0 $, chaque point et son image se situent de part et d'autre du centre $ O $, sur deux demi-droites opposées. Dans l'espace à trois dimensions, cette transformation inverse l'orientation du solide. Elle revient à effectuer une homothétie de rapport $ |k| $, puis une symétrie centrale de centre $ O $. Si $ k = -1 $, la transformation est simplement une symétrie centrale : le solide conserve sa forme et ses dimensions, mais son orientation est inversée.

Exemple 1

Je considère un cube dont le centre coïncide avec le centre d'homothétie $ O $. Si je lui applique une homothétie de rapport $ k = 2 $, toutes ses arêtes deviennent deux fois plus longues. Le cube est donc agrandi, mais sa forme et son orientation ne changent pas.

Pour comprendre comment cette transformation agit sur les coordonnées, je prends le point $ P(2, 3, 4) $ et je choisis l'origine du repère $ O(0, 0, 0) $ comme centre d'homothétie.

Je calcule les coordonnées de son image en appliquant les équations de l'homothétie avec $ k = 2 $ :

\[ x' = 0 + 2(2 - 0) = 4 \]

\[ y' = 0 + 2(3 - 0) = 6 \]

\[ z' = 0 + 2(4 - 0) = 8 \]

J'obtiens le point $ P'(4, 6, 8) $. Il se trouve sur la même demi-droite d'origine $ O $ que le point $ P $, mais à une distance deux fois plus grande du centre.

Calcul des coordonnées de l'image d'un point par une homothétie de rapport 2

Exemple 2

Je considère maintenant une homothétie de rapport négatif. Cette fois, chaque point est envoyé de l'autre côté du centre $ O $. Si j'applique une homothétie de rapport $ k = -1 $ à un cube, j'obtiens son image par symétrie centrale. Le cube conserve sa forme et ses dimensions, mais son orientation dans l'espace est inversée.

Je reprends le point $ P(2, 3, 4) $ et je lui applique une homothétie de centre $ O(0, 0, 0) $ et de rapport $ k = -1 $.

Je calcule les coordonnées de son image :

\[ x' = 0 + (-1)(2 - 0) = -2 \]

\[ y' = 0 + (-1)(3 - 0) = -3 \]

\[ z' = 0 + (-1)(4 - 0) = -4 \]

J'obtiens le point $ P'(-2, -3, -4) $, symétrique du point $ P $ par rapport au centre $ O $.

La différence est donc importante : dans l'espace à trois dimensions, une homothétie de rapport positif conserve l'orientation, tandis qu'une homothétie de rapport négatif l'inverse. Dans le plan, en revanche, même une homothétie de rapport négatif conserve l'orientation, car elle équivaut à une rotation d'un demi-tour, éventuellement accompagnée d'un changement d'échelle.

Homothétie de rapport négatif et symétrie centrale dans l'espace

Propriétés fondamentales d'une homothétie dans l'espace

Une homothétie dans l'espace à trois dimensions conserve certaines propriétés géométriques, tandis que d'autres grandeurs, comme les aires et les volumes, varient selon le rapport $ k $.

Similitude : Une figure et son image par homothétie sont toujours semblables. Elles ont la même forme et leurs dimensions sont proportionnelles, avec un rapport de similitude égal à $ |k| $.
Conservation de l'alignement : Si trois points sont alignés, leurs images le sont également. L'image d'une droite est donc une droite.
Conservation du parallélisme : Deux droites parallèles ont pour images deux droites parallèles. Il en va de même pour deux plans parallèles.
Variation des aires et des volumes :
Si une surface a pour aire $ A $, son image par une homothétie de rapport $ k $ a pour aire $ A' = k^2 A $.
Si un solide a pour volume $ V $, celui de son image est $ V' = |k|^3 V $. La valeur absolue est nécessaire, car le volume géométrique d'un solide est toujours positif, même lorsque $ k $ est négatif.

Propriétés et remarques importantes

Pour mieux comprendre l'homothétie, je peux examiner ce qui change et ce qui reste inchangé lorsqu'une figure est agrandie ou réduite.

Une homothétie n'est pas toujours une isométrie
Une homothétie de rapport $ k $ multiplie toutes les distances par $ |k| $. Elle est donc une isométrie uniquement lorsque $ |k| = 1 $, c'est-à-dire pour $ k = 1 $ ou $ k = -1 $. Dans le premier cas, la transformation est l'identité ; dans le second, une symétrie centrale. Pour les autres valeurs non nulles de $ k $, les distances changent, mais les angles, l'alignement des points et les rapports de longueurs sont conservés.

Voici les principales propriétés à retenir :
- L'image d'un segment est un segment dont la longueur est multipliée par $ |k| $.
- Les angles conservent leur mesure.
- Lorsque $ k \neq 1 $, le centre de l'homothétie est son unique point fixe. Si $ k = 1 $, tous les points sont fixes.
- Toute droite passant par le centre de l'homothétie est globalement invariante : son image est cette même droite.
Conservation des rapports de longueurs
Les distances entre les points images sont proportionnelles aux distances entre les points correspondants de la figure initiale. Les rapports de longueurs restent donc inchangés, même lorsque la taille de la figure varie.

Par exemple, pour trois points distincts A, B et C, le rapport entre les longueurs AB et AC est égal au rapport entre les longueurs de leurs images A'B' et A'C' : $$ \frac{AB}{AC} = \frac{A'B'}{A'C'} $$
Conservation de la mesure des angles
Une homothétie conserve la mesure des angles géométriques. Les angles correspondants de la figure initiale et de son image ont donc la même mesure, quel que soit le rapport d'homothétie non nul.
Le centre de l'homothétie est un point fixe
Le centre $ O $ reste toujours fixe. Lorsque $ k \neq 1 $, il est l'unique point fixe de la transformation. Si $ k = 1 $, l'homothétie est l'identité et tous les points du plan ou de l'espace restent fixes.
Une homothétie de rapport $ k = -1 $ est une symétrie centrale
Lorsque $ k = -1 $, chaque point et son image sont symétriques par rapport au centre $ O $. Le vecteur reliant le centre au point image est l'opposé du vecteur initial. Cette homothétie est donc exactement une symétrie centrale de centre $ O $.

Remarque : Lorsque $ k = -1 $, les côtés correspondants de la figure initiale et de son image ont la même longueur. Les segments correspondants sont donc de même longueur : $$ \begin{aligned} AB &= A'B' \\ AC &= A'C' \\ BC &= B'C' \end{aligned} $$
La composée de deux homothéties de même centre est une homothétie de ce centre
Je considère deux homothéties $ T_1 $ et $ T_2 $ de même centre $ O $, et de rapports respectifs $ k_1 $ et $ k_2 $, tous deux non nuls. Leur composée est une nouvelle homothétie de centre $ O $, dont le rapport est égal au produit des deux rapports : $ k = k_1 \cdot k_2 $.
Pour le vérifier, je choisis un repère dont l'origine est le centre commun $ O $. Les deux homothéties s'écrivent alors : $$ T_1 : \begin{cases} x' = k_1 x \\ \\ y' = k_1 y \end{cases} \quad\text{et}\quad T_2 : \begin{cases} x' = k_2 x \\ \\ y' = k_2 y \end{cases} $$ Je calcule leur composée $ T_1 \circ T_2 $ en appliquant d'abord $ T_2 $, puis $ T_1 $ : $$ T_1 \circ T_2 : \begin{cases} x' = k_1 (k_2 x) = (k_1 k_2)x \\ \\ y' = k_1 (k_2 y) = (k_1 k_2)y \end{cases} $$ J'obtiens donc : $$ T_1 \circ T_2 = H(O, k_1 k_2) $$ La transformation obtenue est bien une homothétie de centre $ O $ et de rapport $ k = k_1 k_2 $. Cette propriété reste valable dans l'espace à trois dimensions, où la troisième coordonnée est également multipliée par $ k_1 k_2 $.
Remarque. L'ensemble des homothéties de même centre et de rapport non nul forme un groupe pour la composition des applications. En effet, les quatre propriétés qui définissent un groupe sont vérifiées :
- Stabilité : la composée de deux homothéties de même centre est encore une homothétie de ce centre.
- Associativité : la composition des applications est associative.
- Élément neutre : l'homothétie de rapport $ k = 1 $ est l'application identité. Elle laisse tous les points fixes.
- Élément inverse : toute homothétie de rapport non nul $ k $ possède une application réciproque, qui est l'homothétie de même centre et de rapport $ k^{-1} = \frac{1}{k} $.
Ce groupe est également abélien, c'est-à-dire commutatif, puisque la multiplication des rapports est commutative : $ k_1 k_2 = k_2 k_1 $. Il est isomorphe au groupe multiplicatif des nombres réels non nuls.

L'homothétie est donc bien plus qu'un simple agrandissement ou une réduction. Elle permet de comprendre les relations entre figures semblables, les propriétés géométriques qui restent invariantes et la manière dont plusieurs transformations peuvent se combiner.