Dilatations et contractions en géométrie

Les dilatations et les contractions suivant les axes permettent d'étirer ou de comprimer une figure dans les directions horizontale et verticale. Elles associent à chaque point P(x;y) un point P'(x';y') défini par : $$ \begin{cases} x' = m \cdot x \\ \\ y' = n \cdot y \end{cases} $$ où $ m,n \in \mathbb{R}^+ $ sont deux nombres réels strictement positifs. Le facteur m agit sur les abscisses, tandis que le facteur n agit sur les ordonnées.

Lorsque m et n sont tous deux supérieurs à 1, la figure est étirée dans les deux directions.

Lorsqu'ils sont tous deux strictement compris entre 0 et 1, elle subit une contraction dans les deux directions. Si l'un des facteurs est supérieur à 1 et l'autre inférieur à 1, la figure est étirée dans une direction et comprimée dans l'autre.

Pour retrouver la figure initiale, j'applique la transformation réciproque : je remplace m et n par leurs inverses. Une dilatation dans les deux directions a donc pour réciproque une contraction dans ces mêmes directions.

Si n = 1, les ordonnées restent inchangées. La transformation est uniquement horizontale : c'est une dilatation si m > 1 et une contraction si 0 < m < 1.

Si m = 1, les abscisses restent inchangées. La transformation est uniquement verticale : c'est une dilatation si n > 1 et une contraction si 0 < n < 1. Enfin, si m = n = 1, tous les points restent à leur place : la transformation est l'identité.

Pour une courbe d'équation $ y = f(x) $, la courbe transformée a pour équation : $$ y = n \cdot f\left( \frac{x}{m} \right) $$ Pour retrouver cette formule, je pars des relations $ x' = mx $ et $ y' = ny $. La première donne $ x = \frac{x'}{m} $, d'où $ y' = n f\left(\frac{x'}{m}\right) $. Je note ensuite les coordonnées de la nouvelle courbe $ x $ et $ y $, à la place de $ x' $ et $ y' $.

Premier exemple : transformer un carré en rectangle
Remarques complémentaires

Premier exemple : transformer un carré en rectangle

Je considère les points A(2;2), B(4;2), C(4;4) et D(2;4) dans le plan cartésien. Ils forment les quatre sommets d'un carré.

Carré ABCD dans le plan cartésien

J'applique une dilatation horizontale de facteur m = 2 et une dilatation verticale de facteur n = 3. Je multiplie donc chaque abscisse par 2 et chaque ordonnée par 3.

Le point $ A(2;2) $ a pour image $ A'(4;6) $.

$$ A' (2 \cdot m ; 2 \cdot n ) = A' (2 \cdot 2 ; 2 \cdot 3 ) = A' (4; 6 ) $$

Le point $ B(4;2) $ a pour image $ B'(8;6) $.

$$ B' (4 \cdot m ; 2 \cdot n ) = B' (4 \cdot 2 ; 2 \cdot 3 ) = B' (8; 6 ) $$

Le point $ C(4;4) $ a pour image $ C'(8;12) $.

$$ C' (4 \cdot m ; 4 \cdot n ) = C' (4 \cdot 2 ; 4 \cdot 3 ) = C' (8; 12 ) $$

Le point $ D(2;4) $ a pour image $ D'(4;12) $.

$$ D' (2 \cdot m ; 4 \cdot n ) = D' (2 \cdot 2 ; 4 \cdot 3 ) = D' (4; 12 ) $$

Les points A', B', C' et D' forment un rectangle. Ses côtés horizontaux sont deux fois plus longs que ceux du carré initial, et ses côtés verticaux trois fois plus longs.

Rectangle obtenu par dilatation horizontale et verticale du carré ABCD

Deuxième exemple : la courbe de la fonction carré

Pour comprendre l'effet de ces transformations sur une courbe, je prends la fonction carré $ f(x) = x^2 $.

$$ f(x) = x^2 $$

Sa courbe représentative est la parabole suivante :

Parabole représentant la fonction carré

J'étudie d'abord les transformations verticales, puis les transformations horizontales, avant de les combiner.

Dilatation ou contraction verticale

Pour transformer la courbe verticalement, je multiplie chaque ordonnée par n, sans modifier les abscisses.

Si $ n > 1 $, la parabole est étirée verticalement. Si $ 0 < n < 1 $, elle est comprimée verticalement.

$$ y = n \cdot f(x) = n \cdot x^2 $$

Par exemple, pour $ n = 3 $, j'obtiens :

$$ y = 3x^2 $$

À chaque abscisse, l'ordonnée de la nouvelle courbe est le triple de celle de la courbe initiale.

Dilatation verticale de la parabole de facteur 3

Pour $ n = \frac{1}{3} $, j'obtiens au contraire :

$$ y = \frac{1}{3} \cdot x^2 $$

Les ordonnées sont divisées par 3 : il s'agit d'une contraction verticale.

Contraction verticale de la parabole de facteur un tiers

Dilatation ou contraction horizontale

Pour transformer la courbe horizontalement, je multiplie chaque abscisse par m, sans modifier les ordonnées. Dans l'expression de la fonction, cela revient à remplacer $ x $ par $ \frac{x}{m} $.

Si $ m > 1 $, la parabole est étirée horizontalement. Si $ 0 < m < 1 $, elle est comprimée horizontalement.

$$ y = f\left(\frac{x}{m}\right) = \left(\frac{x}{m}\right)^2 $$

Par exemple, pour $ m = 3 $, j'obtiens :

$$ y = \left(\frac{x}{3}\right)^2 = \frac{x^2}{9} $$

La parabole est donc étirée horizontalement d'un facteur 3.

Dilatation horizontale de la parabole de facteur 3

Pour $ m = \frac{1}{3} $, le calcul donne :

$$ y = \left(\frac{x}{ \frac{1}{3} }\right)^2 = \frac{x^2}{\frac{1}{9}} = 9x^2 $$

Les abscisses sont divisées par 3 : il s'agit d'une contraction horizontale.

Contraction horizontale de la parabole de facteur un tiers

Combiner les transformations verticale et horizontale

Je peux appliquer les deux transformations à la même courbe. Elles agissent indépendamment sur les coordonnées : leur ordre d'application ne change pas le résultat.

La courbe obtenue a alors pour équation :

$$ y = n \cdot f\left(\frac{x}{m}\right) = n \cdot \left(\frac{x}{m}\right)^2 $$

Par exemple, pour $ n = 3 $ et $ m = 2 $, j'obtiens :

$$ y = 3 \cdot \left(\frac{x}{2}\right)^2 = 3 \cdot \frac{x^2}{4} = \frac{3x^2}{4} $$

Cette transformation étire la parabole verticalement d'un facteur 3 et horizontalement d'un facteur 2.

Composition d'une dilatation verticale de facteur 3 et d'une dilatation horizontale de facteur 2

Pour comparer les deux courbes à une même abscisse, je prends $ x = 2 $ : l'ordonnée initiale est $ f(x) = 2^2 = 4 $, tandis que la nouvelle ordonnée est $ y = \frac{3 \cdot 4}{4} = 3 $. Pour $ x = 4 $, l'ordonnée initiale est $ f(x) = 4^2 = 16 $, et la nouvelle ordonnée est $ y = \frac{3 \cdot 16}{4} = 12 $. Cette comparaison à abscisse constante ne décrit pas l'image d'un point. La transformation envoie le point $ (x;f(x)) $ sur $ (2x;3f(x)) $. Ainsi, le point $ (2;4) $ a pour image $ (4;12) $.

Pour la fonction carré, la courbe transformée est donc une parabole d'équation $ y = \frac{n}{m^2}x^2 $. Son sommet reste à l'origine et son axe de symétrie reste l'axe des ordonnées. Son ouverture dépend du coefficient $ \frac{n}{m^2} $. Si $ n = m^2 $, la courbe obtenue coïncide avec la courbe initiale.

Remarques complémentaires

Ces changements d'échelle s'inscrivent dans le cadre plus général des transformations affines.

Le lien avec les transformations affines
La transformation $ (x;y) \mapsto (mx;ny) $ est une application linéaire, donc un cas particulier de transformation affine. Elle est inversible puisque $ m $ et $ n $ sont non nuls. Si je la fais suivre d'une translation de vecteur $ (p;q) $, j'obtiens : $$ \begin{cases} x' = m x + p \\[4pt] y' = n y + q \end{cases} $$ Les paramètres $ m $ et $ n $ règlent les changements d'échelle horizontal et vertical. Les constantes $ p $ et $ q $ sont les composantes du vecteur de translation. Lorsque $ m \ne n $, le changement d'échelle est dit anisotrope : les facteurs d'échelle ne sont pas les mêmes dans les deux directions. Lorsque $ m = n $, la transformation sans translation est une homothétie de centre l'origine.
Pourquoi la transformation est-elle inversible ? Puisque $ m \ne 0 $ et $ n \ne 0 $, le déterminant de sa partie linéaire est non nul : $$ \begin{vmatrix} m & 0 \\ 0 & n \end{vmatrix} = mn \ne 0 $$ La transformation est donc un automorphisme affine du plan : c'est une application affine bijective dont la réciproque est elle aussi affine.

Le même raisonnement permet de transformer d'autres figures et d'autres courbes à partir de leurs coordonnées ou de leurs équations.