Conditions de similitude d'une transformation affine

Démonstration

Pour comprendre d'où viennent ces conditions, partons de l'expression générale d'une transformation affine du plan dans un repère orthonormé :

\[ \begin{cases} x' = a x + b y + c \\[4pt] y' = a' x + b' y + c' \end{cases} \]

Considérons deux points quelconques \( A(x_A,y_A) \) et \( B(x_B,y_B) \), dont les images par la transformation sont respectivement \( A' \) et \( B' \).

Calculons les différences entre les coordonnées de leurs images :

\[ x_B' - x_A' = a(x_B-x_A) + b(y_B-y_A) \quad y_B' - y_A' = a'(x_B-x_A) + b'(y_B-y_A). \]

Nous pouvons alors exprimer la distance entre les points images à l'aide de la formule de la distance euclidienne :

\[ \overline{A'B'}= \sqrt{ \big[a(x_B-x_A)+b(y_B-y_A)\big]^2+ \big[a'(x_B-x_A)+b'(y_B-y_A)\big]^2 }. \]

Pour simplifier les calculs et étudier la variation des distances, élevons les deux membres au carré :

\[ (\overline{A'B'})^2 = \big[a(x_B-x_A)+b(y_B-y_A)\big]^2 + \big[a'(x_B-x_A)+b'(y_B-y_A)\big]^2. \]

Développons les carrés et regroupons les termes semblables :

\[ (\overline{A'B'})^2 = (a^2+a'^2)(x_B-x_A)^2 + (b^2+b'^2)(y_B-y_A)^2 + 2(ab+a'b')(x_B-x_A)(y_B-y_A). \]

Cette expression décrit la manière dont la partie linéaire de la transformation modifie les distances. Elle correspond à une forme quadratique.

Comparons-la maintenant à la distance initiale entre les points \( A \) et \( B \) :

\[ (\overline{AB})^2 = (x_B-x_A)^2 + (y_B-y_A)^2. \]

Par définition, une similitude de rapport \( k > 0 \) multiplie toutes les distances par le même facteur \( k \). Nous devons donc obtenir :

\[ \overline{A'B'} = k\,\overline{AB} \quad\Longleftrightarrow\quad (\overline{A'B'})^2 = k^2 (\overline{AB})^2. \]

Cette égalité doit être vraie pour tous les points du plan, quelles que soient les différences \( x_B-x_A \) et \( y_B-y_A \).

Commençons par examiner le terme mixte, qui contient le produit de ces deux différences. Pour retrouver une expression proportionnelle au carré de la distance initiale, ce terme doit disparaître. Son coefficient doit donc être nul :

\[ ab + a'b' = 0. \]

Nous obtenons ainsi la première condition de similitude. Géométriquement, elle signifie que les deux vecteurs colonnes de la matrice de la partie linéaire sont orthogonaux.

Examinons ensuite les coefficients des termes au carré. Pour que toutes les distances soient multipliées par le même facteur, ces coefficients doivent être égaux entre eux et à \( k^2 \) :

\[ a^2+a'^2 = b^2+b'^2 = k^2. \]

C'est la seconde condition de similitude. Elle indique que les deux vecteurs colonnes de la matrice ont la même norme, égale à \( k \).

Comme \( k > 0 \), ces vecteurs sont non nuls. Leur orthogonalité garantit alors qu'ils sont linéairement indépendants et que la partie linéaire de la transformation est inversible.

Vérifions maintenant que ces conditions suffisent. Si elles sont satisfaites, l'expression du carré de la distance entre les images devient :

\[ (\overline{A'B'})^2 = k^2(\overline{AB})^2, \] ce qui montre que la distance entre deux points quelconques est bien multipliée par le même facteur positif \( k \).

La transformation affine est donc une similitude du plan. Elle conserve les angles et les rapports de longueurs, tout en agrandissant ou en réduisant les figures de manière uniforme.

Son rapport de similitude est donné par :

\[ k = \sqrt{a^2+a'^2} = \sqrt{b^2+b'^2}. \]

Nous avons ainsi démontré que les deux conditions sont nécessaires et suffisantes, à condition que la partie linéaire soit inversible.

Cette propriété possède également une interprétation matricielle. La matrice de la partie linéaire d'une similitude de rapport \( k \) est le produit d'une matrice orthogonale par le scalaire positif \( k \).

Enfin, selon qu'elle conserve ou inverse l'orientation du plan, la similitude est dite directe ou indirecte.