Condiciones de semejanza en una transformación afín
Una transformación afín se convierte en una transformación de semejanza cuando se cumplen dos condiciones esenciales:
- \( a^2 + a'^2 = b^2 + b'^2 \)
- \( ab + a'b' = 0 \)
Si ambas se verifican, la razón de semejanza es:
\[ k = \sqrt{a^2+a'^2} = \sqrt{b^2+b'^2} \]
Demostración
Tomemos la transformación afín general del plano:
\[ \begin{cases} x' = a x + b y + c \\[4pt] y' = a' x + b' y + c' \end{cases} \]
Consideremos ahora dos puntos arbitrarios, \( A(x_A,y_A) \) y \( B(x_B,y_B) \). Al aplicarles la transformación, las diferencias en sus coordenadas cambian así:
\[ x_B' - x_A' = a(x_B-x_A) + b(y_B-y_A) \quad y_B' - y_A' = a'(x_B-x_A) + b'(y_B-y_A). \]
La distancia entre sus imágenes viene dada por:
\[ \overline{A'B'}= \sqrt{ \big[a(x_B-x_A)+b(y_B-y_A)\big]^2+ \big[a'(x_B-x_A)+b'(y_B-y_A)\big]^2 }. \]
Para analizar cómo se deforma la distancia, elevamos al cuadrado:
\[ (\overline{A'B'})^2 = \big[a(x_B-x_A)+b(y_B-y_A)\big]^2 + \big[a'(x_B-x_A)+b'(y_B-y_A)\big]^2. \]
Desarrollamos ambos cuadrados y agrupamos términos. Esto nos permite identificar la forma cuadrática asociada a la parte lineal de la transformación:
\[ (\overline{A'B'})^2 = (a^2+a'^2)(x_B-x_A)^2 + (b^2+b'^2)(y_B-y_A)^2 + 2(ab+a'b')(x_B-x_A)(y_B-y_A). \]
Mientras tanto, la distancia original satisface simplemente:
\[ (\overline{AB})^2 = (x_B-x_A)^2 + (y_B-y_A)^2. \]
Para que la transformación sea una semejanza debemos tener:
\[ \overline{A'B'} = k\,\overline{AB} \quad\Longleftrightarrow\quad (\overline{A'B'})^2 = k^2 (\overline{AB})^2. \]
Al sustituir obtenemos una identidad que solo puede cumplirse si el término mixto desaparece. Es aquí donde entra la primera condición:
\[ ab + a'b' = 0. \]
Eliminado el término mixto, la igualdad solo puede mantenerse cuando los coeficientes que multiplican a \((x_B-x_A)^2\) y \((y_B-y_A)^2\) coinciden. Esta es la segunda condición clave:
\[ a^2+a'^2 = b^2+b'^2 = k^2. \]
Una vez impuesta, la expresión se reduce exactamente a:
\[ (\overline{A'B'})^2 = k^2(\overline{AB})^2, \] lo que confirma que todas las distancias se multiplican por el mismo factor \( k \).
En consecuencia, la transformación afín actúa como una auténtica transformación de semejanza. Preserva la forma de todas las figuras, ampliándolas o reduciéndolas uniformemente según la razón:
\[ k = \sqrt{a^2+a'^2} = \sqrt{b^2+b'^2}. \]
La demostración queda así plenamente establecida.
Y así sucesivamente.
