Condiciones para que una transformación afín sea una isometría
Una transformación afín es una isometría si, y solo si, se cumplen las siguientes condiciones: $$ \begin{cases} a^2 + a'^2 = 1 \\ b^2 + b'^2 = 1 \\ ab + a'b' = 0 \end{cases} $$
Demostración paso a paso
Para entender cuándo una transformación afín conserva las distancias, recordemos primero su forma general en el plano:
\[
\begin{cases}
x' = a x + b y + c \\ \\
y' = a' x + b' y + c'
\end{cases}
\]
La parte lineal de esta transformación está dada por la matriz:
\[ \begin{pmatrix} a & b \\ a' & b' \end{pmatrix} \]
Para que la transformación esté bien definida, el determinante de esta matriz debe ser distinto de cero. Esto garantiza que la transformación sea invertible y que no "colapse" el plano sobre una línea o un punto.
1. Distancia original entre dos puntos
Consideremos dos puntos cualesquiera del plano, \( A(x_A, y_A) \) y \( B(x_B, y_B) \). Su distancia euclídea se calcula mediante la fórmula:
$$ \overline{AB} = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2} $$
o, de forma más compacta:
$$ \overline{AB} = \sqrt{ (\Delta x)^2 + (\Delta y)^2 } $$
2. Imagen de los puntos tras la transformación
Aplicando la transformación afín, las imágenes de los puntos serán:
\[
\begin{cases}
x'_A = a x_A + b y_A + c \\ \\
y'_A = a' x_A + b' y_A + c'
\end{cases}
\]
\[
\begin{cases}
x'_B = a x_B + b y_B + c \\ \\
y'_B = a' x_B + b' y_B + c'
\end{cases}
\]
3. Distancia entre las imágenes
La distancia entre los puntos transformados es:
$$ \overline{A'B'} = \sqrt{(x'_B - x'_A)^2 + (y'_B - y'_A)^2} $$
Sustituyendo las expresiones anteriores obtenemos:
$$ \overline{A'B'} = \sqrt{[a(x_B - x_A) + b(y_B - y_A)]^2 + [a'(x_B - x_A) + b'(y_B - y_A)]^2} $$
Si definimos \( \Delta x = x_B - x_A \) y \( \Delta y = y_B - y_A \), la expresión se simplifica a:
$$ \overline{A'B'} = \sqrt{[a \Delta x + b \Delta y]^2 + [a' \Delta x + b' \Delta y]^2} $$
4. Expansión y agrupación de términos
Al desarrollar los cuadrados y reagrupar los términos semejantes se obtiene:
$$ \overline{A'B'} = \sqrt{(a^2 + a'^2)(\Delta x)^2 + (b^2 + b'^2)(\Delta y)^2 + 2(ab + a'b')(\Delta x \Delta y)} $$
5. Condición para que la distancia se conserve
Para que la transformación sea una isometría, la distancia entre los puntos debe permanecer invariante, es decir:
$$ \overline{AB} = \overline{A'B'} $$
De esta igualdad se deduce que:
$$ \sqrt{ (\Delta x)^2 + (\Delta y)^2 } = \sqrt{ (a^2 + a'^2)(\Delta x)^2 + (b^2 + b'^2)(\Delta y)^2 + 2(ab + a'b')(\Delta x \Delta y) } $$
Esto solo es posible si se cumplen las condiciones siguientes:
$$ \begin{cases} a^2 + a'^2 = 1 \\ b^2 + b'^2 = 1 \\ ab + a'b' = 0 \end{cases} $$
Conclusión
Estas tres ecuaciones garantizan que la transformación afín conserve la métrica euclídea, es decir, que las distancias y los ángulos no se alteren. En otras palabras, toda transformación afín que cumpla estas condiciones es una isometría: una rotación, una traslación o una combinación de ambas.
