Ejercicio de integrales 8

En este ejercicio se nos pide calcular la siguiente integral:

$$ \int \frac{1}{(1+x)x} \ dx $$

Para abordar el problema de forma sencilla y sistemática, utilizamos el método de descomposición en fracciones parciales, una técnica estándar cuando se trabaja con funciones racionales.

Observamos que el denominador es el producto de dos factores lineales distintos, ambos de multiplicidad uno. En este caso, la función puede descomponerse como:

$$ \frac{1}{(1+x)x} = \frac{A}{1+x} + \frac{B}{x} $$

donde \( A \) y \( B \) son constantes reales que debemos determinar.

Para ello, llevamos la suma del segundo miembro a un denominador común:

$$ \frac{A}{1+x} + \frac{B}{x} = \frac{Ax + B(1+x)}{(1+x)x} $$

Desarrollando el numerador se obtiene:

$$ = \frac{Ax + B + Bx}{(1+x)x} = \frac{(A + B)x + B}{(1+x)x} $$

Como ambas expresiones representan la misma función racional, sus numeradores deben coincidir. Esto nos permite igualar los coeficientes y plantear el siguiente sistema:

$$ \begin{cases} B = 1 \\ A + B = 0 \end{cases} $$

Explicación. En la expresión original no aparece ningún término en \( x \), por lo que su coeficiente es 0. En la descomposición, el coeficiente de \( x \) es \( A + B \), lo que lleva a la ecuación \( A + B = 0 \). El término independiente es 1 en la expresión original y \( B \) en la descompuesta, de donde se obtiene \( B = 1 \).

Al resolver el sistema se obtiene:

$$ \begin{cases} B = 1 \\ A = -1 \end{cases} $$

Sustituyendo estos valores en la descomposición en fracciones parciales, resulta:

$$ \frac{1}{(1+x)x} = \frac{-1}{1+x} + \frac{1}{x} $$

De este modo, la integral original puede reescribirse como:

$$ \int \frac{1}{(1+x)x} \ dx = \int \left( \frac{-1}{1+x} + \frac{1}{x} \right) \ dx $$

Al expresar el integrando como suma de fracciones simples, el problema se reduce al cálculo de dos integrales elementales bien conocidas:

$$ - \int \frac{1}{1+x} \ dx + \int \frac{1}{x} \ dx $$

Ambas integrales son directas:

La primera da lugar al logaritmo natural de \( 1 + x \):

$$ -\log(1+x) + \int \frac{1}{x} \ dx + c $$

La segunda corresponde al logaritmo natural de \( x \):

$$ -\log(1+x) + \log(x) + c $$

Por tanto, el resultado final de la integral es:

$$ \log(x) - \log(1+x) + c $$

Con esto se completa la resolución del ejercicio de forma clara y ordenada.