El centro de un grupo

El centro de un grupo $(G,*)$ es el subconjunto Z(G) que contiene todos los elementos $z \in G$ que conmutan con cualquier otro elemento $g \in G$ bajo la operación del grupo. Es decir: $$Z(G) = \{z \in G \ | \ z*g = g*z \ \ \forall \ g \in G\}$$.

Además, el centro - cuando existe - constituye un subgrupo de \(G\), ya que cumple todas las propiedades que definen un grupo.

Se trata, además, de un subgrupo abeliano, puesto que satisface la propiedad conmutativa.

Nota: En los grupos abelianos, el centro coincide con el propio grupo. Por ejemplo, en el grupo aditivo de los enteros $(\mathbb{Z},+)$, el centro es todo el grupo: Z(G) = $(\mathbb{Z},+)$.

Ejemplo práctico

Consideremos el grupo G de permutaciones * sobre tres elementos {1,2,3}.

Este grupo $(G,*)$ consta de 6 permutaciones posibles:

e = () - la identidad
(12) - intercambio de 1 y 2
(13) - intercambio de 1 y 3
(23) - intercambio de 2 y 3
(123) - rotación 1 → 2, 2 → 3, 3 → 1
(132) - rotación 1 → 3, 3 → 2, 2 → 1

El objetivo es determinar qué permutaciones conmutan con todas las demás en la composición.

En este caso, el orden en que se aplican las permutaciones influye en el resultado final.

Por ejemplo, componer (12) con (23) produce la permutación (132):

$$ (12)*(23) = (132) $$

En cambio, componer (23) con (12) da como resultado la permutación (123):

$$ (23)*(12) = (123) $$

Explicación: Partiendo de la configuración 123, la permutación (12) intercambia las posiciones primera y segunda, resultando en 213. Luego, (23) intercambia las posiciones segunda y tercera, obteniendo finalmente 231. En notación cíclica, esta composición corresponde a (123), que rota 1 → 2, 2 → 3, 3 → 1.

Por tanto, el resultado final difiere:

$$ (12)*(23) \ne (23)*(12) $$

Esto demuestra que las permutaciones (12) y (23) no conmutan entre sí ni con todas las demás permutaciones del grupo.

A continuación, elaboraremos una tabla con todas las composiciones posibles para analizar el comportamiento de cada elemento.

	e	(12)	(13)	(23)	(123)	(132)
e	e	(12)	(13)	(23)	(123)	(132)
(12)	(12)	e	(123)	(132)	(13)	(23)
(13)	(13)	(132)	e	(123)	(23)	(12)
(23)	(23)	(123)	(132)	e	(12)	(13)
(123)	(123)	(23)	(12)	(13)	(132)	e
(132)	(132)	(13)	(23)	(12)	e	(123)

La tabla muestra cómo la composición de cada par de permutaciones genera otra permutación dentro del grupo.

• La primera fila y columna corresponden al elemento identidad \(e\), que deja invariante la permutación con la que se compone.
• El resto de la tabla presenta los resultados de combinar dos permutaciones distintas.

  Por ejemplo, la combinación de \((12)\) con \((13)\) da como resultado \((123)\), como se observa en la intersección de la fila \((12)\) con la columna \((13)\).

En definitiva, el único elemento de G que conmutan con todos los demás - como se desprende de la tabla - es el elemento identidad \(e\).

Por lo tanto, el centro del grupo G es:

$$ Z(G) = \{ e \} $$

En otras palabras, el "núcleo" de G está constituido únicamente por la permutación identidad.

Nota: En los grupos no abelianos (no conmutativos), como este, el centro suele ser muy restringido y, en muchos casos, queda reducido al elemento neutro del grupo.

Ejemplo 2

Veamos ahora el grupo aditivo \( (\mathbb{Z}, +) \), que considera los números enteros con la operación de la suma.

La suma de enteros es, por naturaleza, conmutativa: \(a + b = b + a\) para cualquier par de enteros \(a\) y \(b\).

Esto implica que todo elemento de \( \mathbb{Z} \) conmuta con cualquier otro.

Por tanto, el centro de \( (\mathbb{Z}, +) \) coincide con todo el conjunto \( \mathbb{Z} \), ya que todos sus elementos cumplen la propiedad conmutativa requerida para pertenecer al centro.

$$ Z(\mathbb{Z}, +) = \mathbb{Z} $$

En general, el centro de cualquier grupo abeliano (conmutativo) es el propio grupo.

El centro de un grupo es un subgrupo

En cualquier grupo $ ( G, * ) $, el centro $ Z(G) $ constituye siempre un subgrupo de \( G \).

Este resultado se deduce directamente de las propiedades que caracterizan al centro de un grupo.

Demostración

Verificaremos que el centro cumple las propiedades necesarias para ser un subgrupo. La propiedad asociativa se da por supuesta, ya que es inherente a la estructura de grupo.

• Elemento neutro
  El elemento neutro $ e = \{ \ \} $ no altera los elementos al operar con ellos, por lo que pertenece al centro \( Z(G) \) y conmuta con todos los elementos del grupo: $$ e*g = g*e \ \ \ \forall \ g \ \in G $$
• Cerrado bajo la operación
  Sean \(a\) y \(b\) dos elementos de \(Z(G)\). Por definición, conmuten con todo \(g \in G\): $$ a*g = g*a \quad \text{y} \quad b*g = g*b $$. Queremos probar que su producto \(ab\) también pertenece a \(Z(G)\), es decir: $$ g(ab) = (ab)g $$ Aplicando la propiedad asociativa: $$ g(ab) = (ga)b $$ Como \(a\) conmuta con \(g\), podemos reescribir: $$ (ga)b = (ag)b $$ Aplicando de nuevo la asociatividad: $$ (ag)b = a(gb) $$ Como \(b\) también conmuta con \(g\), tenemos: $$ a(gb) = a(bg) $$ Finalmente: $$ a(bg) = (ab)g $$ Por tanto: $$ g(ab) = (ab)g $$ Esto demuestra que \(ab \in Z(G)\), es decir, el centro es cerrado bajo la operación del grupo.
• Existencia de inversos
  Nos queda por comprobar que el inverso de cualquier elemento de \(Z(G)\) también pertenece al centro. Sea \(a \in Z(G)\), de modo que \( ag = ga \ \ \forall g \in G \). Queremos probar que \(a^{-1}\) también conmuta con todo \(g \in G\): $$ g a^{-1} = a^{-1} g $$ Multiplicamos ambos lados por \( a^{-1} \) a la izquierda: $$ a^{-1} ag = a^{-1} ga $$ Como \( a^{-1} a = e \), resulta: $$ eg = a^{-1} ga $$ Y puesto que \( e g = g \), tenemos: $$ g = a^{-1} ga $$ Ahora multiplicamos ambos lados por \( a^{-1} \) a la derecha: $$ g a^{-1} = a^{-1} g a a^{-1} $$ Como \( a a^{-1} = e \), queda: $$ g a^{-1} = a^{-1} g e $$ Y dado que \( g e = g \), se concluye: $$ g a^{-1} = a^{-1} g $$ Por tanto, \( a^{-1} \in Z(G) \): el inverso de cualquier elemento del centro también pertenece al centro.

En conclusión, el centro de un grupo cumple todas las propiedades de subgrupo. Por lo tanto, $ Z(G) $ es un subgrupo de $ G $.