Subgrupos cíclicos

Un subgrupo cíclico de un grupo $ (G, *) $ es un subgrupo generado por un único elemento $ g \in G $: $$ \langle g \rangle = \{ g^n \ | \ n \in \mathbb{Z} \} $$ El elemento $ g $ se denomina generador del subgrupo cíclico.

Esto significa que, dada la operación $ * $ del grupo y un elemento $ g $, el subgrupo $ \langle g \rangle $ está compuesto por todos los elementos que se pueden expresar como $ g^n $, con $ n $ entero.

Por convención, el subgrupo cíclico generado por $ g $ se denota como $ \langle g \rangle $:

$$ \langle g \rangle = \{ g^n \ | \ n \in \mathbb{Z} \} $$

En esta expresión, $ g^n $ representa $ g $ operado consigo mismo $ n $ veces, según la operación del grupo $ * $.

Nota: Si $ n < 0 $, se utiliza el inverso de $ g $, aplicado $ |n| $ veces. Si $ n = 0 $, entonces $ g^0 = e $, es decir, el elemento neutro del grupo. Para más detalles, consulta: cómo calcular potencias de un elemento en un grupo.

Los subgrupos cíclicos pueden ser finitos o infinitos, según el número de elementos que contienen:

Subgrupo finito
Es finito si existe un entero positivo $ n $ tal que $ g^n = e $. Dicho $ n $ se llama orden de $ g $ (y del subgrupo $ \langle g \rangle $).
Subgrupo infinito
Es infinito si no existe tal $ n $, es decir, si $ g^n \neq e $ para todo $ n $ positivo. En este caso, el orden de $ g $ (y de $ \langle g \rangle $) es infinito.

Ejemplo ilustrativo

Consideremos el grupo aditivo $ (\mathbb{Z}, +) $, es decir, el conjunto de los números enteros con la operación suma:

$$ (\mathbb{Z}, +) $$

Tomemos $ g = 3 $ como generador de nuestro subgrupo.

El subgrupo cíclico generado por 3, denotado $ \langle 3 \rangle $, está compuesto por todos los múltiplos enteros de 3:

$$ \langle 3 \rangle = \{ \ldots, -9, -6, -3, 0, 3, 6, 9, 12, \ldots \} $$

En este contexto, "multiplicar" el número $ g = 3 $ por un entero $ n $ equivale a sumar $ 3 $ consigo mismo $ n $ veces.

El número 3 actúa como generador del subgrupo cíclico $ \langle 3 \rangle $ en $ \mathbb{Z} $.

Cada elemento de $ \langle 3 \rangle $ se obtiene sumando o restando $ 3 $ un cierto número de veces.

Ejemplo: La operación $ 3^4 $, en el contexto aditivo, equivale a: $$ 3^4 = 3 + 3 + 3 + 3 = 12 $$

Es importante recordar que $ g^n $ no representa una potencia aritmética, sino la aplicación repetida de la operación del grupo (en este caso, la suma) sobre el elemento $ g = 3 $.

Si el exponente es negativo, se suma el inverso aditivo de $ 3 $, es decir, $ -3 $: $$ 3^{-4} = (-3) + (-3) + (-3) + (-3) = -12 $$

Si el exponente es cero, el resultado es el neutro de la suma: $$ 3^0 = 0 $$

Así pues, $ \langle 3 \rangle $ está formado por todos los múltiplos enteros de 3, y es un subgrupo de $ (\mathbb{Z}, +) $:

$$ \langle 3 \rangle = 3 \mathbb{Z} \subseteq \mathbb{Z} $$

Se trata de un subgrupo cíclico infinito, ya que existen infinitos múltiplos positivos y negativos de 3.

Y así sucesivamente.