Teoría de grupos
La teoría de grupos es una rama fundamental del álgebra que introduce y desarrolla el concepto de grupo, desempeñando un papel central en el desarrollo del álgebra moderna y abstracta.
Un grupo es una estructura algebraica (G,*) definida por:
- un conjunto no vacío G,
- una operación binaria interna $$ *:G\times G \rightarrow G $$ que es asociativa, posee un elemento neutro y garantiza la existencia de inversos para todos sus elementos.
Ejemplo. Un ejemplo sencillo y representativo de grupo es la estructura algebraica (Z,+), es decir, el conjunto de los números enteros con la operación de suma.
Los grupos constituyen la base para definir numerosas otras estructuras algebraicas, como anillos, cuerpos, espacios vectoriales, entre muchas más.
Orígenes de la teoría de grupos
Tras la formulación de soluciones por radicales para ecuaciones de hasta cuarto grado, los matemáticos comenzaron a investigar métodos similares para resolver ecuaciones de grado superior.
A comienzos del siglo XIX, quedó demostrado que las ecuaciones de quinto grado no podían resolverse mediante radicales.
Este avance se consolidó gracias a los aportes de Ruffini (1813), Abel (1825) y Galois (1832).
El matemático francés Évariste Galois asoció a cada ecuación algebraica un grupo finito, mostrando que una ecuación es resoluble por radicales únicamente cuando su grupo asociado es un grupo abeliano simple.
Los trabajos de Galois representan uno de los fundamentos de la teoría de grupos y dieron origen a la célebre Teoría de Galois.
El concepto moderno de grupo se consolidó gracias al matemático británico Arthur Cayley, quien en 1854 fue el primero en formular de manera rigurosa la noción de "grupo abstracto", subrayando la importancia del elemento neutro y la propiedad asociativa.
En sus primeras aplicaciones, los grupos se emplearon en el estudio de las permutaciones.
Con el tiempo, se reconoció la versatilidad del concepto de "grupo abstracto", aplicable a una amplia gama de contextos matemáticos (conjuntos numéricos, ecuaciones diferenciales, geometría, entre otros).
Entre los principales impulsores del desarrollo de la teoría de grupos en la segunda mitad del siglo XIX destacan Kronecker, Lie y Klein.
Ya a comienzos del siglo XX, la teoría de grupos se había consolidado como un campo propio dentro de las matemáticas, con su sistema axiomático bien definido.
Nota. La formulación actual del grupo como estructura algebraica, compuesta por un conjunto dotado de una operación binaria asociativa, con elemento neutro e inversos, se atribuye a la influyente matemática alemana Emmy Noether en la década de 1920.
En sus primeras etapas, la investigación se centró en los grupos finitos, alcanzando un desarrollo notablemente completo.
El estudio de los grupos infinitos es mucho más reciente y sigue siendo hoy en día un campo de investigación activo.
Nota. La teoría de grupos ha propiciado una visión moderna de las matemáticas que trasciende las teorías generales tradicionales, integrando también enfoques locales.
Y así sucesivamente.
