Potencia de un elemento de un grupo
En el ámbito de la teoría de grupos, el concepto de potencia de un elemento, $ g \in G $, dentro de un grupo (G,*) consiste en aplicar repetidamente la operación del grupo, *, sobre dicho elemento, un total de n veces: $$ g^n = \underbrace{g*g*...*g}_{n \ veces} $$
Esto pone de relieve que la operación definida en el grupo es esencial cuando se habla de la potencia de un elemento.
El efecto de esta operación puede variar considerablemente según el tipo de grupo del que se trate.
- Grupos aditivos
En un grupo aditivo (G,+), donde la operación es la suma, elevar un elemento g a la tercera potencia equivale a sumar g consigo mismo tres veces: $$ g^3 = g+g+g = 3g $$ Por ejemplo, en el grupo de los enteros (Z,+), tenemos: $$ 2^3=2+2+2=6 $$ - Grupos multiplicativos
En un grupo multiplicativo (G,·), donde la operación es la multiplicación, la tercera potencia de un elemento g consiste en multiplicarlo por sí mismo tres veces: $$ g^3 = g \cdot g \cdot g $$ Por ejemplo, en el grupo de los enteros (Z,*) bajo multiplicación: $$ 2^3=2 \cdot 2 \cdot 2 = 8 $$
Así pues, el resultado siempre depende de la operación específica del grupo.
Nota: En estos ejemplos se utilizan grupos aditivos y multiplicativos por simplicidad, pero los principios que se explican son válidos en general para cualquier tipo de grupo y operación, no únicamente para la suma o la multiplicación.
Cuando el exponente es cero, el resultado es siempre el elemento neutro del grupo.
En un grupo aditivo (G,+), por ejemplo, cualquier elemento elevado a la potencia cero es igual al elemento neutro del grupo, que en este caso es el cero.
$$ g^0 = 0 $$
Ejemplo: En el grupo de los enteros (Z,+), con la suma, dos elevado a la potencia cero es igual a cero: $$ 2^0=0 $$ Este principio se cumple para cualquier elemento del grupo.
En cambio, en un grupo multiplicativo (Z,·), cualquier elemento elevado a cero es igual a 1, ya que 1 es el elemento neutro de la multiplicación.
$$ g^0 = 1 $$
Ejemplo: En el grupo de los enteros (Z,·) bajo multiplicación, dos elevado a cero es igual a 1, ya que 1 es el elemento neutro de la multiplicación: $$ 2^0=1 $$ Esta regla se cumple para cualquier elemento elevado a cero.
Potencias con exponentes negativos
Si el exponente es negativo, se debe aplicar la operación del grupo (*) n veces al elemento inverso correspondiente.
$$ g^{n} = \underbrace{g^{-1}*g^{-1}*...*g^{-1}}_{n \ veces} \ \ \ con \ \ n<0 $$
Por ejemplo, en el grupo aditivo (Z,+), la potencia 2-3 equivale a sumar tres veces el inverso aditivo de 2, que es -2: $$ 2^{-3} = (-2)+(-2)+(-2)=-6 $$ En cambio, en el grupo multiplicativo (Q,·) de los números racionales, la potencia 2-3 se obtiene multiplicando tres veces el inverso multiplicativo de 2, que es 1/2: $$ 2^{-3} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{8} $$
Propiedades de las potencias
Las operaciones algebraicas con potencias en la teoría de grupos siguen las mismas reglas que las potencias en álgebra elemental.
Multiplicar dos potencias con la misma base equivale a una sola potencia de esa base cuyo exponente es la suma de los exponentes originales:
$$ a^n * a^m = a^{n+m} $$
Por ejemplo, en el grupo aditivo (Z,+), combinar potencias como 23 y 22 produce 25: $$ 2^3+2^2=2^{3+2}=2^5 = 10 $$
Elevar una potencia a otro exponente equivale a multiplicar los exponentes entre sí:
$$ (a^n)^m = a^{n \cdot m} $$
Por ejemplo, en el grupo aditivo (Z,+), elevar (23) al cuadrado da como resultado 26: $$ (2^3)^2=2^{3 \cdot2}=2^6 = 12 $$
Es fundamental tener presente que el cálculo de las potencias de un elemento de un grupo siempre debe respetar la operación definida en el grupo.
Y así sucesivamente.
