El elemento neutro en un grupo

En un grupo (G,*), el elemento e ∈ G se denomina "elemento neutro" (o "identidad") respecto a la operación binaria *. Esto significa que, para todo elemento g ∈ G, se verifica:

$$ g*e = e*g = g $$

El elemento neutro se caracteriza por ser el único elemento que, al operar con cualquier otro elemento del grupo, deja este inalterado.

Dicho de otro modo: combinar cualquier elemento del grupo con el elemento neutro no modifica su valor.

Por ejemplo, en un grupo multiplicativo, el elemento neutro suele representarse como 1 o e. En un grupo aditivo, se representa como 0. Es importante recordar que el símbolo utilizado para denotar el neutro puede variar según el contexto, siempre que su significado sea claro.

Ejemplo práctico

Consideremos el conjunto de los números enteros Z con la operación de suma (+).

En este caso, el elemento neutro es 0, ya que para todo a ∈ Z se cumple:

$$ a+0 = 0+a = a $$

Es decir, sumar 0 a cualquier entero no altera su valor.

Ejemplos:

$$ 3+0 = 0+3 = 3 $$

$$ (-5)+0 = 0+(-5) = -5 $$

En este contexto, el neutro es 0: sumar 0 a cualquier entero produce el mismo número.

Observaciones

Entre las propiedades fundamentales del elemento neutro en un grupo destacan:

• Unicidad del elemento neutro
  En cualquier grupo (G,*), existe un único elemento neutro respecto a la operación *.

  Demostración. Supongamos, por reducción al absurdo, que existieran dos elementos neutros, e y u. Entonces, para todo g ∈ G se tendría: $$ \forall \ g \in G \ \ eg = ge = g $$ y: $$ \forall \ g \in G \ \ ug = gu = g $$ Aplicando u a e (y viceversa), por la definición misma de elemento neutro, se obtiene: $$ ue = eu = e $$ y también: $$ eu = ue = u $$ De donde se concluye que u = e. Por tanto, el elemento neutro es necesariamente único.

Y así sucesivamente.