Orden de un elemento en un grupo

El orden de un elemento $g$ en un grupo $(G, *)$ se define como el menor entero positivo $r$ tal que $g^r = e$, donde $e$ es el elemento neutro del grupo.

En otras palabras, el orden de $g$ indica cuántas veces debe aplicarse la operación * sobre $g$ para obtener nuevamente el elemento neutro. Por ejemplo:

$$ \underbrace{g*g*\ldots*g}_{r \ veces} = e $$

Este concepto es fundamental para comprender la estructura cíclica de los grupos.

El orden de un elemento puede ser finito o infinito.

Orden finito
Un elemento $g$ tiene orden finito si, tras un número finito de aplicaciones de la operación (digamos $n$), se alcanza el elemento neutro.
Orden infinito
Un elemento $g$ tiene orden infinito si, al aplicar la operación indefinidamente, nunca se llega al elemento neutro.

Nota: Que un elemento tenga orden finito o infinito depende tanto de la naturaleza del grupo como del propio elemento. En los grupos finitos, todos los elementos poseen orden finito, comprendido entre 1 y el orden del grupo. En los grupos infinitos, en cambio, ciertos elementos pueden tener orden infinito: no existe entonces ninguna secuencia finita de operaciones que los devuelva al neutro.

Ejemplo práctico
Observaciones

Ejemplo práctico

El grupo de los enteros con la suma ( $ \mathbb{Z}, + $ ):

Consideremos el elemento $1$ en el grupo aditivo $ \mathbb{Z}, + $.

Dado que el elemento neutro es $0$, sumar repetidamente $1$ nunca dará como resultado $0$. Por tanto, el elemento $1$ tiene orden infinito.

Nota: Lo mismo ocurre con el elemento $2$, ya que ningún múltiplo de $2$ es igual a cero. Por ejemplo: 2+2=4, 2+2+2=6, y así sucesivamente. El único elemento de $ (\mathbb{Z},+) $ con orden finito es el cero, que como elemento neutro, tiene orden 1.

El grupo de clases de congruencia módulo $n$ ( $ \mathbb{Z}_n, + $ ):

Veamos el caso de $ \mathbb{Z}_4 $, el grupo formado por las clases de residuos módulo 4, con la suma como operación.

El conjunto $ \mathbb{Z}_4 $ está compuesto por cuatro elementos:

$$ \mathbb{Z}_4 = \{ 0 , 1, 2, 3 \} $$

El elemento $2$ tiene orden $2$, ya que sumarlo consigo mismo da $0$ módulo $4$, es decir, el elemento neutro:

$$ 2 + 2 = 4 \equiv 0 \mod 4 $$

Por su parte, el elemento $1$ tiene orden $4$, pues se requiere sumarlo cuatro veces para obtener el neutro:

$$ 1+1+1+1=4 \equiv 0 \mod 4 $$

Nota: De igual modo, el elemento neutro $0$ tiene orden $1$, como corresponde en todo grupo.

Observaciones

Algunas observaciones adicionales sobre el orden de un elemento en un grupo:

Si un elemento $g$ en un grupo $G$ tiene orden infinito, entonces para cualesquiera dos enteros distintos $s$ y $t$, los elementos $g^s$ y $g^t$ son diferentes. En consecuencia, el subgrupo cíclico <g> generado por $g$ es también infinito.
Ejemplo: En el grupo aditivo $ (\mathbb{Z},+) $, tomemos $g = 1$. Para $s = 2$ y $t = 3$, se obtiene que $g^2 = 1 + 1 = 2$, mientras que $g^3 = 1 + 1 + 1 = 3$. En este contexto, elevar un elemento equivale a aplicar repetidamente la operación del grupo, en este caso la suma.
Si un elemento $g$ tiene orden finito $n$, entonces genera un subgrupo cíclico finito <g> con $n$ elementos: $$ <g> = \{ g^0, g^1, ..., g^{n-1} \} $$ Aquí, $g^0$ es el elemento neutro, es decir, $g^0 = e$. Además, para dos enteros $s$ y $t$, se cumple que $g^s = g^t$ si y solo si s \equiv t \mod n.
Ejemplo: En el grupo $ (\mathbb{Z}_5,+) $, con la suma módulo 5, tomemos $g = 1$. Los valores $g^3 = 3$ y $g^8 = 3$ coinciden, ya que $3 \equiv 8 \mod 5$. Por tanto, el subgrupo cíclico <1> = \{ 0, 1, 2, 3, 4 \} es finito.

Y así continúa la historia.