Grupos cíclicos
Un grupo \( (G,*) \) se denomina grupo cíclico si existe un elemento \( g \in G \), llamado generador, tal que mediante sucesivas aplicaciones de la operación del grupo se pueden obtener todos los elementos de \( G \).
En los grupos cíclicos multiplicativos, el conjunto \( G \) está formado por todas las potencias del elemento generador \( g \):
$$ G = \{ g^n \ : \ n \in \mathbb{Z} \ \} $$
donde \( n \) es un número entero.
En los grupos cíclicos aditivos, en cambio, \( G \) está compuesto por todos los múltiplos del elemento generador \( g \):
$$ G = \{ g \cdot n \ : \ n \in \mathbb{Z} \ \} $$
Nota: En los grupos cíclicos, el conjunto \( G \) coincide con el subgrupo \( \langle g \rangle \) generado por \( g \): $$ G = \langle g \rangle = \{ g^1, ..., g^n \} $$ donde \( g^n \) es el elemento neutro del grupo.
El orden del generador es el menor entero positivo \( n \) tal que: $$ g^n = u $$ donde \( u \) es el elemento neutro del grupo.
Si tal número \( n \) no existe, se dice que el generador es de orden infinito.
Ejemplo práctico
El grupo formado por el conjunto finito de enteros \( \mathbb{Z}_4 = \{ 0,1,2,3 \} \), con aritmética modular y la operación de suma, es un grupo cíclico:
$$ (\mathbb{Z}_4, +) $$
Porque existe un elemento \( g = 1 \) que genera todos los elementos de \( G \):
$$ g = 1 $$
En este caso, el generador es el número 1:
$$ 1^1 = 1 $$ $$ 1^2 = 1+1 = 2 $$ $$ 1^3 = 1+1+1 = 3 $$ $$ 1^4 = 1+1+1+1 = 0 $$
El periodo del elemento \( 1 \) es \( 4 \), ya que son necesarias cuatro aplicaciones de la operación para volver al elemento neutro \( e = 0 \).
Nota: En \( (\mathbb{Z}_4, +) \), la expresión \( 1^3 \) indica la suma repetida (no una potenciación algebraica): \( 1^3 = 1+1+1 \).
El subgrupo \( \langle 1 \rangle \) generado por el elemento \( 1 \) coincide con \( G \):
$$ \langle 1 \rangle = \{ 0,1,2,3 \} = G $$
El subgrupo \( \langle 1 \rangle \) tiene orden \( 4 \), ya que contiene cuatro elementos.
El elemento \( 2 \), en cambio, no es generador, pues sus múltiplos no abarcan todo \( \mathbb{Z}_4 \):
$$ 2^0 = 0 $$ $$ 2^1 = 2 $$ $$ 2^2 = 2+2 = 0 $$
El periodo de \( 2 \) es \( 2 \), ya que basta con dos sumas para regresar al neutro \( e = 0 \).
El subgrupo \( \langle 2 \rangle \), generado por \( 2 \), tiene orden \( 2 \):
$$ \langle 2 \rangle = \{ 0,2 \} $$
Nota: El periodo de \( 2 \) y el orden del subgrupo \( \langle 2 \rangle \) coinciden: el menor entero \( k \) tal que \( g^k = 0 \) es \( k = 2 \): $$ 2^2 = 2+2 = 0 $$
El elemento \( 3 \) también es un generador del grupo cíclico:
$$ 3^1 = 3 $$ $$ 3^2 = 3+3 = 2 $$ $$ 3^3 = 3+3+3 = 1 $$ $$ 3^4 = 3+3+3+3 = 0 $$
ya que el subgrupo \( \langle 3 \rangle \) coincide con \( G \):
$$ \langle 3 \rangle = \{ 0,1,2,3 \} = G $$
El subgrupo \( \langle 3 \rangle \) tiene orden \( 4 \), pues contiene cuatro elementos.
El periodo de \( 3 \) es \( 4 \), ya que son necesarias cuatro sumas para volver al neutro \( e = 0 \).
Nota: El elemento \( 0 \) no se considera generador, ya que es el elemento neutro: $$ 0^1 = 0 $$ $$ 0^2 = 0+0 = 0 $$
En resumen, los subgrupos generados por los elementos de \( (\mathbb{Z}_4, +) \) son:
| Subgrupo | Orden | Periodo |
|---|---|---|
| \(\langle 0 \rangle = \{ 0 \}\) | 1 | \( 0^1 = 0 \) |
| \(\langle 1 \rangle = \{ 0,1,2,3 \}\) | 4 | \( 1^4 = 1+1+1+1 = 0 \) |
| \(\langle 2 \rangle = \{ 0,2 \}\) | 2 | \( 2^2 = 2+2 = 0 \) |
| \(\langle 3 \rangle = \{ 0,1,2,3 \}\) | 4 | \( 3^4 = 3+3+3+3 = 0 \) |
Entre estos, solo los subgrupos generados por \( 1 \) y \( 3 \) coinciden con \( \mathbb{Z}_4 \):
$$ \langle 1 \rangle = \langle 3 \rangle = \{ 0,1,2,3 \} = \mathbb{Z}_4 $$
Por tanto, los elementos \( 1 \) y \( 3 \) son generadores del grupo cíclico \( (\mathbb{Z}_4, +) \).
Propiedades de los grupos cíclicos
Entre las propiedades más relevantes de los grupos cíclicos se encuentran:
- Todo grupo cíclico es también un grupo abeliano (grupo conmutativo).
- Si \( (G, *) \) es un grupo cíclico, entonces todos sus subgrupos son, a su vez, grupos cíclicos.
Ejemplo: El grupo \( (\mathbb{Z}_4, +) \) es un grupo cíclico de orden \( n = 4 \) y posee los siguientes subgrupos:
Todos estos subgrupos son cíclicos. Cada uno contiene el elemento neutro \( e = 0 \) y retorna a él tras un número finito de operaciones (su periodo). - Todo grupo cíclico finito de orden \( n \) es isomorfo al grupo \( \mathbb{Z}_n \), es decir, al grupo de los enteros módulo \( n \).
- Si \( (G, *) \) es un grupo cíclico finito de orden \( n \), un elemento \( m \in G \) es generador de \( G \) si, y solo si, \( m \) y \( n \) son enteros coprimos, es decir, \( \mathrm{MCD}(n, m) = 1 \).
Ejemplo: El grupo \( (\mathbb{Z}_4, +) \) es un grupo cíclico de orden \( n = 4 \). Tiene dos generadores: \( 1 \) y \( 3 \). Ambos elementos son coprimos con \( n \), ya que \( \mathrm{MCD}(1, 4) = 1 \) y \( \mathrm{MCD}(3, 4) = 1 \).
- Teorema de Cauchy
Si \( (G, *) \) es un grupo cíclico finito de orden \( n \), y \( p \) es un número primo que divide \( n \), entonces \( G \) contiene al menos un elemento de orden \( p \). - Corolario del teorema de Cauchy
Si el orden \( n \) de un grupo finito \( (G, *) \) es un número primo, entonces el grupo es cíclico. - Todo grupo cíclico infinito es isomorfo al grupo \( (\mathbb{Z}, +) \), es decir, al grupo de los enteros bajo la suma, teniendo al elemento \( 1 \) como generador.
Y así sucesivamente.
