Subgrupos generados por un conjunto de elementos
El subgrupo \( \langle X \rangle \) generado por un conjunto \( X \subseteq G \), en un grupo \( (G, *) \), está constituido por todos los elementos que se pueden obtener aplicando de forma repetida la operación \( * \) del grupo a los elementos \( x \in X \) y a sus inversos.
Cuando el conjunto \( X \) consta de un único elemento \( X = \{ x \} \), se trata de un subgrupo cíclico.
Este es el subgrupo más pequeño que contiene a los elementos de \( X \), junto con todas sus posibles combinaciones bajo la operación del grupo.
Ejemplo práctico
Consideremos el grupo aditivo \( (\mathbb{Z}, +) \), es decir, el grupo de los números enteros con la suma.
Tomemos el subconjunto \( X = \{ 2, 3 \} \).
El subgrupo generado por \( X \) está formado por todas las combinaciones lineales de 2 y 3:
$$ \langle X \rangle = \{ 2a + 3b \ : \ a, b \in \mathbb{Z} \} $$
donde \( a \) y \( b \) son coeficientes enteros.
Algunos ejemplos:
$$ 2 \cdot 1 + 3 \cdot 1 = 5 $$
$$ 2 \cdot 2 + 3 \cdot 1 = 4 + 3 = 7 $$
$$ 2 \cdot 1 + 3 \cdot 2 = 2 + 6 = 8 $$
$$ 2 \cdot 2 + 3 \cdot 2 = 4 + 6 = 10 $$
$$ (-2) + 3 = 1 $$
$$ \vdots $$
En este caso, el conjunto \( X \) genera todo el grupo \( (\mathbb{Z}, +) \), ya que la combinación \( -2 + 3 = 1 \) permite obtener cualquier entero mediante múltiplos adecuados.
$$ \langle X \rangle = (\mathbb{Z}, +) $$
Nota: Todo subgrupo incluye siempre el elemento neutro del grupo. En \( (\mathbb{Z}, +) \), este elemento es \( 0 \), que se obtiene fácilmente tomando \( a = 0, b = 0 \): $$ 0 \cdot 2 + 0 \cdot 3 = 0 $$
Ejemplo 2
Consideremos de nuevo el grupo \( (\mathbb{Z}, +) \), con el conjunto \( X = \{ 2, 6 \} \).
$$ X = \{ 2, 6 \} $$
Dado que la suma de números pares nunca produce un número impar, es evidente que el subgrupo generado por \( X \) estará compuesto únicamente por números pares.
$$ 2 + (-2) = 0 $$
$$ 2 + 6 \cdot 0 = 2 $$
$$ 2 \cdot 2 + 6 \cdot 0 = 4 $$
$$ 0 \cdot 2 + 1 \cdot 6 = 6 $$
$$ 1 \cdot 2 + 1 \cdot 6 = 8 $$
$$ 2 \cdot 2 + 1 \cdot 6 = 10 $$
Por tanto, el subgrupo generado por \( X = \{ 2, 6 \} \) es el de los números pares:
$$ \langle X \rangle = (2 \mathbb{Z}, +) $$
Ejemplo 3
Veamos ahora el grupo aditivo \( (\mathbb{Z}_6, +) \), es decir, los enteros módulo 6 con la suma:
$$ \mathbb{Z}_6 = \{ 0, 1, 2, 3, 4, 5 \} $$
Tomemos el subconjunto \( X = \{ 2, 4 \} \):
$$ X = \{ 2, 4 \} $$
El subgrupo generado por \( X \), en \( (\mathbb{Z}_6, +) \), estará formado por todas las combinaciones posibles de 2 y 4, operando módulo 6:
$$ 2 + 2 = 4 \mod 6 $$
$$ 2 + 4 = 6 \mod 6 = 0 $$
$$ 4 + 4 = 8 \mod 6 = 2 $$
$$ 2 + 2 + 2 = 6 \mod 6 = 0 $$
$$ 4 + 4 + 4 = 12 \mod 6 = 0 $$
$$ 2 + 4 + 4 = 10 \mod 6 = 4 $$
$$ \vdots $$
Como se observa, cualquier combinación de 2 y 4 da lugar (módulo 6) a uno de los siguientes elementos: \( 0, 2, 4 \).
Por tanto, el subgrupo generado es:
$$ \langle X \rangle = \{ 0, 2, 4 \} $$
Este subgrupo contiene el elemento neutro \( 0 \), y cada uno de sus elementos posee su inverso en el propio subgrupo: el inverso de \( 2 \) es \( 4 \), y viceversa, ya que \( 2 + 4 = 6 \mod 6 = 0 \). De este modo, \( \langle X \rangle \) es cerrado bajo la suma módulo 6.
Y con esto concluye el ejemplo.
