Subgrupos

Un subgrupo de un grupo \( (G, *) \) es un grupo \( (S, *) \) contenido en \( (G, *) \), cerrado respecto a la misma operación \( * \): $$ * : S \rightarrow S $$ y que satisface todas las propiedades de grupo (elemento neutro, elementos inversos, propiedad asociativa).

El conjunto \( S \) del subgrupo \( (S, *) \) es un subconjunto de \( G \):

$$ S \subseteq G $$

En otras palabras, un subgrupo \( (S, *) \) restringe las operaciones \( * \) que se consideran en el grupo \( (G, *) \).

Nota: Un grupo \( (G, *) \) puede tener uno, varios o ningún subgrupo. Se denominan subgrupos impropios aquellos en los que \( S = G \) o bien \( S = \{ u \} \), el subgrupo trivial que solo contiene el elemento neutro. Los demás son subgrupos propios.

Todo subgrupo \( (S, *) \) verifica la propiedad asociativa e incluye el mismo elemento neutro \( u \) que el grupo \( (G, *) \):

$$ u \in G, S $$

Además, cada elemento de \( S \) posee su inverso en \( S \):

$$ s, s^{-1} \in S $$

Nota: Desde un punto de vista más abstracto, un subgrupo se caracteriza mediante un homomorfismo inyectivo de grupos: $$ F : (S, *) \rightarrow (S', *) $$ Como consecuencia, los subgrupos heredan las propiedades del grupo del que forman parte. Por ejemplo, si \( (G, *) \) es un grupo abeliano, cualquier subgrupo \( (S, *) \) también será abeliano.

Ejemplo práctico

Consideremos el grupo multiplicativo \( (\mathbb{Q}_0, \cdot) \), formado por el conjunto de los números racionales distintos de cero: \( \mathbb{Q}_0 = \mathbb{Q} \setminus \{ 0 \} \):

$$ (\mathbb{Q}_0, \cdot) $$

El elemento neutro es \( u = 1 \):

$$ u = 1 $$

El conjunto de los números racionales positivos \( \mathbb{Q}^+ \) es un subgrupo multiplicativo de \( (\mathbb{Q}_0, \cdot) \):

$$ (\mathbb{Q}^+, \cdot) $$

Porque:

1. \( \mathbb{Q}^+ \subseteq \mathbb{Q}_0 \).
2. Contiene el mismo elemento neutro \( u = 1 \).
3. Es cerrado respecto a la multiplicación: $$ \forall \ a, b \in \mathbb{Q}^+, \quad a \cdot b \in \mathbb{Q}^+ $$
4. La operación es asociativa: $$ a \cdot (b \cdot c) = (a \cdot b) \cdot c $$
5. Todo elemento de \( \mathbb{Q}^+ \) posee su inverso dentro de \( \mathbb{Q}^+ \). Ejemplo: $$ 2 \cdot \frac{1}{2} = 1 = u $$

Por tanto, \( (\mathbb{Q}^+, \cdot) \) es un subgrupo de \( (\mathbb{Q}_0, \cdot) \).

Ejemplo 2

Consideremos el grupo \( (A, \cdot) \), definido sobre el conjunto finito \( A = \{ 1, -1 \} \), con la operación de multiplicación:

$$ (A, \cdot) $$

¿Por qué \( (A, \cdot) \) es un grupo? Porque verifica todas las propiedades de grupo: Contiene un elemento neutro: $$ e = 1 $$ Cada elemento tiene inverso: $$ 1 \cdot 1 = e, \quad (-1) \cdot (-1) = e $$ La operación es cerrada y asociativa.

Una vez establecido que \( (A, \cdot) \) es un grupo, podemos analizar qué subgrupos contiene.

El subconjunto \( S = \{ 1 \} \), con la misma operación \( \cdot \), constituye un subgrupo:

$$ (S, \cdot) $$

En cambio, \( T = \{ -1 \} \) no es subgrupo bajo \( \cdot \).

¿Por qué \( S = \{ 1 \} \) es subgrupo y \( T = \{ -1 \} \) no?

Empecemos por la tabla de multiplicación de \( S = \{ 1 \} \):

a · b	1
1	1

Comprobemos si \( S \) cumple las condiciones:

• \( S \subseteq A \).
• Es cerrado.
• Contiene el neutro \( 1 \).
• Todo elemento \( s \in S \) tiene su inverso en \( S \): $$ 1 \cdot 1 = 1 $$
• La operación es asociativa: $$ (1 \cdot 1) \cdot 1 = 1 \cdot (1 \cdot 1) = 1 $$

Se cumplen todas las condiciones, por lo que \( (S, \cdot) \) es subgrupo de \( (A, \cdot) \):

$$ (S, \cdot) \subset (A, \cdot) $$

Nota: El subgrupo \( (S, \cdot) \) hereda todas las propiedades del grupo \( (A, \cdot) \). Si \( (A, \cdot) \) es abeliano, \( (S, \cdot) \) también lo es.

Analicemos ahora el subconjunto \( T = \{ -1 \} \):

a · b	-1
-1	1

Veamos si \( T \) cumple las condiciones para ser subgrupo:

• \( T \subseteq A \).
• No es cerrado, ya que: $$ (-1) \cdot (-1) = 1 \notin T $$

Al no cumplirse la condición de cierre, \( T \) no es subgrupo de \( (A, \cdot) \).

Ejemplo 3

Consideremos el grupo \( (\mathbb{Z}_4, +) \), formado por el conjunto finito \( \mathbb{Z}_4 = \{ 0, 1, 2, 3 \} \), con aritmética modular y la operación de suma:

$$ (\mathbb{Z}_4, +) $$

Se trata de un grupo cíclico y también un grupo abeliano.

Veamos su tabla de operaciones:

a + b	0	1	2	3
0	0	1	2	3
1	1	2	3	0
2	2	3	0	1
3	3	0	1	2

Los subconjuntos propios de \( \mathbb{Z}_4 \) son: {0}, {1}, {2}, {3}, {0,1}, {0,2}, {0,3}, {1,2}, {1,3}, {2,3}, {1,2,3}, {0,2,3}, {0,1,3}, {0,1,2}.

Vamos a analizar cuáles de estos subconjuntos forman subgrupos de \( (\mathbb{Z}_4, +) \):

• Los subconjuntos {1}, {2}, {3}, {1,2}, {1,3}, {2,3}, {1,2,3} no son subgrupos porque no contienen el elemento neutro \( e = 0 \).
• El subconjunto {0,1} no es subgrupo, ya que no es cerrado: \( 1 + 1 = 2 \notin \{ 0, 1 \} \).
• {0,3} no es subgrupo: \( 3 + 3 = 2 \notin \{ 0, 3 \} \).
• {0,2,3} no es subgrupo: \( 2 + 3 = 1 \notin \{ 0, 2, 3 \} \).
• {0,1,3} no es subgrupo: \( 1 + 3 = 0 \), pero \( 0 + 3 = 3 \), y la clausura no se verifica en todos los casos.
• {0,1,2} no es subgrupo: \( 2 + 1 = 3 \notin \{ 0, 1, 2 \} \).

En cambio, el subconjunto {0,2} sí es un subgrupo porque:

• Es cerrado bajo la suma: \( 0 + 2 = 2 \), \( 2 + 2 = 0 \), \( 0 + 0 = 0 \); todos en \( \{ 0, 2 \} \).
• Contiene el elemento neutro \( e = 0 \).
• Todo elemento de \( \{ 0, 2 \} \) tiene su inverso en el propio conjunto: \( 0 + 0 = 0 \), \( 2 + 2 = 0 \).

Confirmémoslo mediante su tabla de operaciones:

a + b	0	2
0	0	2
2	2	0

Por tanto, este subconjunto es efectivamente un subgrupo de \( (\mathbb{Z}_4, +) \):

$$ (\{ 0, 2 \}, +) \subset (\mathbb{Z}_4, +) $$

Además, hereda todas las propiedades del grupo \( (\mathbb{Z}_4, +) \).

Por ejemplo, el subgrupo \( (\{ 0, 2 \}, +) \) es también un grupo cíclico y un grupo abeliano.

Nota: El subconjunto trivial \( \{ 0 \} \) también es un subgrupo: $$ (\{ 0 \}, +) \subset (\mathbb{Z}_4, +) $$ Es cerrado bajo la suma: \( 0 + 0 = 0 \). Contiene el neutro \( e = 0 \). Todo elemento tiene su inverso: en este caso, \( 0 \) es su propio inverso.

Y así sucesivamente.