Homomorfismo de grupos
En álgebra abstracta, un homomorfismo de grupos entre dos grupos \( (G, \cdot) \) y \( (H, *) \) es una función \( f \): $$ f : G \rightarrow H $$ que satisface la siguiente propiedad para todo par de elementos \( a, b \in G \): $$ \forall \ a, b \in G \ \Rightarrow \ f(a \cdot b) = f(a) * f(b) $$
Es decir, en un homomorfismo de grupos, cada elemento \( g \in G \) se mapea de manera única a un elemento \( h = f(g) \in H \):
$$ \forall \ g \in G \ \Rightarrow \ h = f(g) \in H $$
A esta correspondencia se le denomina homomorfismo de \( G \) en \( H \).
Nota: Un homomorfismo de grupos es un caso particular de homomorfismo en álgebra abstracta, ya que establece una correspondencia entre dos conjuntos dotados de la misma estructura algebraica (en este caso, la estructura de grupo).
Si, además, todo elemento \( h \in H \) es imagen de algún elemento de \( G \) bajo \( f : G \rightarrow H \):
$$ \forall \ h \in H \ \exists \ g \in G \ \ | \ \ h = f(g) $$
entonces el homomorfismo se dice sobreyectivo, y se dice que \( H \) es la imagen homomorfa de \( G \).
Ejemplo práctico
Consideremos el grupo aditivo \( (\mathbb{Z}, +) \) y el grupo multiplicativo \( (\mathbb{Z}, \cdot) \), junto con la unidad imaginaria \( i \) en los números complejos.
La función \( f : n \mapsto i^n \) es un homomorfismo de \( (\mathbb{Z}, +) \) en \( (\mathbb{Z}, \cdot) \):
$$ f : n \rightarrow i^n $$
ya que cumple la propiedad: $$ \forall \ a, b \in \mathbb{Z} \ \Rightarrow \ f(a + b) = f(a) \cdot f(b) $$
Demostración
Dado que \( f(n) = i^n \), se tiene: \( f(a + b) = i^{a + b} \), y \( f(a) \cdot f(b) = i^a \cdot i^b \).
Por tanto: $$ \forall \ a, b \in \mathbb{Z} \ \Rightarrow \ i^{a + b} = i^a \cdot i^b $$
Esta igualdad se verifica por las propiedades de las potencias de base común, ya que: \( i^x \cdot i^y = i^{x + y} \).
Verificación
Tomemos, por ejemplo, \( a = 3 \) y \( b = 2 \):
$$ f(3 + 2) = f(3) \cdot f(2) $$
$$ f(5) = f(3) \cdot f(2) $$
Como \( f(n) = i^n \), se tiene: \( f(5) = i^5 \), \( f(3) = i^3 \), \( f(2) = i^2 \).
Luego: $$ i^5 = i^3 \cdot i^2 $$
Sabemos que \( i^2 = -1 \), por lo que: \( i^5 = i^2 \cdot i^2 \cdot i = (-1) \cdot (-1) \cdot i = i \).
Sustituyendo en la igualdad: $$ i = i^3 \cdot i^2 $$
Además, \( i^3 = i^2 \cdot i = (-1) \cdot i = -i \).
Así: $$ i = (-i) \cdot (-1) $$
$$ i = i $$
La identidad se verifica para \( a = 3 \), \( b = 2 \).
Teoremas sobre homomorfismos de grupos
Algunos resultados fundamentales sobre homomorfismos de grupos:
- En un homomorfismo entre dos grupos \( G \) y \( H \), ambos comparten el mismo elemento neutro.
- Si en un homomorfismo \( G \rightarrow H \), se tiene que \( g \in G \), \( h = f(g) \in H \), entonces el inverso de \( g \) en \( G \) se mapea en el inverso de \( h \) en \( H \).
- La imagen homomorfa de un grupo cíclico es también un grupo cíclico.
Y así sucesivamente.
