Isomorfismo de grupos

En álgebra abstracta, un isomorfismo entre dos grupos $ (G, \cdot) $ y $ (H, *) $ es una correspondencia biunívoca (biyectiva) entre ambos, a través de una función $ f $ que satisface la siguiente propiedad para todo par de elementos $ a, b \in G $: $$ f(a \cdot b) = f(a) * f(b) $$ donde $ f(a), f(b) \in H $.

Dicho de otro modo, un isomorfismo es un homomorfismo biyectivo que establece una correspondencia entre dos grupos, conservando su estructura algebraica. Esta correspondencia es reversible, ya que existe:

Un homomorfismo del primer grupo al segundo: $$ f : G \rightarrow H $$
y su función inversa, que es también un homomorfismo: $$ f^{-1} : H \rightarrow G $$

Ejemplo práctico

Consideremos la función exponencial:

$$ f(x) = e^x $$

Tomemos el grupo aditivo de los números reales:

$$ (\mathbb{R}, +) $$

y el grupo multiplicativo de los números reales positivos:

$$ (\mathbb{R}^+, \cdot) $$

Estos dos grupos, $ (\mathbb{R}, +) $ y $ (\mathbb{R}^+, \cdot) $, son isomorfos a través de la función: f(x) = e^x, ya que se verifica la siguiente identidad:

$$ \forall \ a, b \in \mathbb{R} \ \Longrightarrow \ e^{a + b} = e^a \cdot e^b $$

La relación inversa también se cumple:

$$ \forall \ a, b \in \mathbb{R}^+ \ \Longrightarrow \ \ln(a \cdot b) = \ln(a) + \ln(b) $$

Aquí, la función logaritmo natural $ \ln $ es la inversa de la función exponencial.

Y así sucesivamente.