Elementos inversos en los grupos

En todo grupo $ G $, para cada elemento $ a $, existe un elemento inverso $ b = a^{-1} $ tal que, al combinarse con $ a $ mediante la operación $ * $, se obtiene el elemento neutro $ e $ del grupo: $$ a * b = b * a = e $$

Esta propiedad es una de las condiciones fundamentales que definen la estructura de un grupo $ (G, *) $, junto con la clausura, la asociatividad y la existencia de un elemento neutro.

En otras palabras, el inverso de $ a $ neutraliza el efecto de $ a $ bajo la operación $ * $.

$$ a * a^{-1} = a^{-1} * a = e $$

El hecho de que cada elemento de $ G $ posea un inverso garantiza que cualquier operación dentro del grupo sea reversible.

Conviene destacar que el concepto de inverso no depende del orden de la operación, lo cual cobra especial importancia en los grupos no abelianos, donde el orden de los factores puede alterar el resultado.

Un ejemplo práctico
Aspectos clave

Un ejemplo práctico

En el grupo aditivo de los números enteros $ (\mathbb{Z}, +) $, el cero $ 0 $ actúa como elemento neutro, y el inverso de un número entero $ a $ es su opuesto $ -a $, ya que $ a + (-a) = 0 $.

Por ejemplo, el inverso de 5 es -5, ya que $ 5 + (-5) = 0 $

Ejemplo 2

En el grupo multiplicativo de los números reales $ (\mathbb{R}^*, \cdot) $, el elemento neutro es $ 1 $, y el inverso de cualquier número real $ a $, salvo el cero, es su recíproco $ \frac{1}{a} $, puesto que $ a \cdot \frac{1}{a} = 1 $.

Por ejemplo, el inverso de 5 es 1/5, ya que $ 5 \cdot \frac{1}{5} = 1 $

Aspectos clave

Algunas observaciones importantes sobre los elementos inversos en los grupos:

En todo grupo $ (G, *) $, cada elemento $ a \in G $ tiene un inverso único $ a^{-1} $.
Demostración. Supongamos por absurdo que un elemento $ a \in G $ tuviera dos inversos distintos, $ a' $ y $ a'' $. Por definición del elemento neutro $ e $, se cumple que: $$ a' = e * a' $$ Como $ a'' $ también es inverso de $ a $, se puede escribir $ e = a'' * a $, lo que nos permite reescribir: $$ a' = (a'' * a) * a' $$ Aplicando la propiedad asociativa: $$ a' = a'' * (a * a') $$ Como $ a * a' = e $, se sigue que: $$ a' = a'' * e $$ Y como $ e $ es neutro: $$ a' = a'' $$ Por tanto, los dos supuestos inversos deben ser el mismo elemento.
El inverso del producto de dos elementos en un grupo $ (G, *) $ es igual al producto de sus inversos en orden inverso: $$ (a*b)^{-1} = b^{-1} * a^{-1} $$ Esta fórmula indica que para hallar el inverso de un producto basta invertir el orden de los inversos. Es una consecuencia directa de las propiedades fundamentales de los grupos, en particular la asociatividad y la existencia de elementos inversos.

Demostración: Para probar que $ (a*b)^{-1} = b^{-1} * a^{-1} $, debemos verificar que al multiplicar $ a*b $ por $ b^{-1} * a^{-1} $, se obtiene el elemento neutro $ e $: $$ (a*b)*(b^{-1}*a^{-1}) = e $$ Aplicando la propiedad asociativa: $$ (a*(b*b^{-1}))*a^{-1} $$ Como $ b * b^{-1} = e $: $$ (a*e)*a^{-1} $$ Y como $ a * e = a $: $$ a * a^{-1} $$ Por último, $ a * a^{-1} = e $, con lo que se concluye que: $$ (a*b)*(b^{-1}*a^{-1}) = e $$ Así se confirma que $ b^{-1} * a^{-1} $ es efectivamente el inverso de $ a*b $: $$ (a*b)^{-1} = b^{-1} * a^{-1} $$

Un error habitual consiste en suponer que el inverso de $ a*b $ es $ a^{-1} * b^{-1} $, sin tener en cuenta la importancia del orden en la operación. Este detalle es especialmente crucial en los grupos no abelianos, donde $ a*b \neq b*a $, por lo que respetar el orden adecuado resulta imprescindible.

Y así podríamos seguir con otros ejemplos y propiedades.