Grupos no abelianos
¿Qué es un grupo no abeliano?
Un grupo no abeliano es un grupo \( (S,*) \) en el que la operación * no cumple la propiedad conmutativa.
También se denomina grupo no conmutativo.
El término hace referencia al matemático noruego Niels Henrik Abel.
Ejemplo práctico
El conjunto de matrices reales invertibles de orden \( 2 \times 2 \), denotado por \( M_2 \), forma un grupo \( (M_2, \cdot) \) con respecto a la multiplicación de matrices ( \(\cdot\) ).
$$ (\ M_2\ , \ \cdot\ ) \ \ \ \ \text{donde} \ \ M_2 = \text{matrices \( 2 \times 2 \) invertibles} $$
Este es un ejemplo de grupo multiplicativo, ya que:
- El producto de dos matrices \( 2 \times 2 \) es otra matriz \( 2 \times 2 \): $$ \forall \ A,B \in M_2 \ \Rightarrow \ AB \in M_2 $$
- El producto de matrices es asociativo: $$ A \cdot (B \cdot C) = (A \cdot B) \cdot C $$
- Existe un elemento neutro para la multiplicación: la matriz identidad (I): $$ A \cdot I = A \cdot \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = A $$
- Cada matriz invertible \( A \in M_2 \) posee un inverso \( A^{-1} \): $$ A \cdot A^{-1} = I $$
Nota: En este contexto consideramos únicamente las matrices invertibles, es decir, aquellas cuyo determinante es distinto de cero. Esta condición es esencial, ya que garantiza que toda matriz tenga inverso. Si se incluyeran matrices singulares (con determinante nulo), el conjunto dejaría de cumplir las propiedades de los grupos, ya que algunas matrices no tendrían inverso.
El grupo \( (M_2, \cdot) \) es no abeliano, ya que la multiplicación de matrices no es conmutativa.
Por ejemplo, consideremos las siguientes matrices \( 2 \times 2 \):
$$ A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 3 \end{pmatrix} $$
$$ B = \begin{pmatrix} -1 & 3 \\ 2 & 1 \end{pmatrix} $$
El producto \( AB \) resulta:
$$ AB = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 3 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} -1 & 3 \\ 2 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & 5 \\ 5 & 6 \end{pmatrix} $$
Si se invierte el orden de multiplicación, se obtiene un resultado distinto:
$$ BA = \begin{pmatrix} -1 & 3 \\ 2 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 7 \\ 3 & 7 \end{pmatrix} $$
Dado que los resultados no coinciden, el grupo \( (M_2, \cdot) \) es un grupo no abeliano:
$$ AB \ne BA $$
Es suficiente con encontrar un solo caso en el que \( AB \ne BA \) para concluir que, en general, la multiplicación de matrices no es conmutativa.
Nota: En cambio, el grupo de matrices \( (M_2, +) \), con la operación de suma, sí es un grupo abeliano, ya que la suma de matrices es conmutativa: $$ \forall \ A,B \in M_2 \ \Rightarrow \ A+B = B+A $$
Y así sucesivamente.
