Ejemplos resueltos sobre grupos
A continuación, se presentan algunos ejemplos resueltos en teoría de grupos.
Ejercicio 1
¿El conjunto finito \( A = \{ -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3 \} \) forma un grupo con la suma de enteros (+)?
Para responder, verificaremos si el conjunto \( A \), con la operación de suma, cumple los axiomas de grupo.
- Asociatividad
La suma en \( A \) es asociativa: $$ (a + b) + c = a + (b + c), \ \ \forall \ a, b, c \in A $$ - Elemento neutro
El conjunto \( A \) contiene el elemento neutro aditivo: \( 0 \). Para todo \( a \in A \): $$ a + 0 = 0 + a = a $$ - Elemento inverso
Cada elemento de \( A \) posee su inverso aditivo en \( A \). Ejemplo: $$ 1 + (-1) = 0, \quad 2 + (-2) = 0, \quad 3 + (-3) = 0, \quad 0 + 0 = 0 $$ - Cerradura
El conjunto \( A \) no es cerrado respecto a la suma. Para que \( A \) fuera un grupo bajo la suma, la suma de cualesquiera dos elementos de \( A \) debería pertenecer también a \( A \), lo que no sucede. Por ejemplo: $$ 3 + 1 = 4 \notin A $$
Aunque se cumplen los tres primeros axiomas, la operación en cuestión es la suma ordinaria de enteros.
Nota: Se trata de la suma habitual, no de aritmética modular.
Conclusión
Por tanto, el conjunto \( A \) no forma un grupo bajo la suma de enteros.
Ejercicio 2
¿El conjunto de los enteros \( \mathbb{Z} \) forma un grupo bajo la multiplicación?
Analicemos si se cumplen los axiomas de grupo.
- Cerradura
\( \mathbb{Z} \) es cerrado bajo la multiplicación: el producto de dos enteros es un entero. $$ \forall \ a, b \in \mathbb{Z}, \ \Rightarrow \ a \cdot b \in \mathbb{Z} $$ - Asociatividad
La multiplicación en \( \mathbb{Z} \) es asociativa: $$ (a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c), \ \ \forall \ a, b, c \in \mathbb{Z} $$ - Elemento neutro
El número \( 1 \) es el elemento neutro multiplicativo: $$ a \cdot 1 = 1 \cdot a = a $$ - Elemento inverso
No todo entero tiene inverso multiplicativo en \( \mathbb{Z} \). Por ejemplo, el inverso multiplicativo de \( 3 \) sería \( \frac{1}{3} \), que no pertenece a \( \mathbb{Z} \): $$ 3 \cdot \frac{1}{3} = 1 $$ Por tanto, no se cumple el axioma del inverso.
Conclusión
En consecuencia, \( \mathbb{Z} \) no forma un grupo bajo la multiplicación.
Ejercicio 3
¿El conjunto de los enteros \( \mathbb{Z} \) es un grupo bajo la suma?
Comprobemos si se satisfacen los axiomas de grupo.
- Cerradura
\( \mathbb{Z} \) es cerrado bajo la suma: la suma de dos enteros es otro entero. $$ \forall \ a, b \in \mathbb{Z}, \ \Rightarrow \ a + b \in \mathbb{Z} $$ - Asociatividad
La suma en \( \mathbb{Z} \) es asociativa: $$ (a + b) + c = a + (b + c), \ \ \forall \ a, b, c \in \mathbb{Z} $$ - Elemento neutro
El \( 0 \) es el elemento neutro aditivo: $$ a + 0 = 0 + a = a $$ para todo \( a \in \mathbb{Z} \). - Elemento inverso
Todo entero \( a \) tiene como inverso aditivo a \( -a \), que también pertenece a \( \mathbb{Z} \): $$ a + (-a) = (-a) + a = 0 $$
Todos los axiomas se cumplen.
Conclusión
Por tanto, el conjunto \( \mathbb{Z} \), con la operación suma, forma un grupo \( (\mathbb{Z}, +) \).
Ejercicio 4
¿El conjunto \( A = \{ 1, -1, i, -i \} \), formado por cuatro números complejos, constituye un grupo bajo la multiplicación?
Procedamos a comprobar si se cumplen los axiomas de grupo:
- Cerradura
La multiplicación es cerrada en \( A = \{ 1, -1, i, -i \} \): $$ \forall \ a, b \in A \ \Rightarrow \ a \cdot b \in A $$Verificación. Recordemos que \( i^2 = -1 \).
$$ 1 \cdot 1 = 1 \in A $$ $$ 1 \cdot (-1) = -1 \in A $$ $$ -1 \cdot (-1) = 1 \in A $$ $$ i \cdot i = i^2 = -1 \in A $$ $$ i \cdot (-i) = -i^2 = -(-1) = 1 \in A $$ $$ -i \cdot (-i) = i^2 = -1 \in A $$ $$ 1 \cdot i = i \in A $$ $$ -1 \cdot i = -i \in A $$ - Asociatividad
La multiplicación es asociativa en \( A \): $$ (a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c), \ \ \forall \ a, b, c \in A $$ - Elemento neutro
\( A \) contiene el elemento neutro multiplicativo, que es \( 1 \): $$ a \cdot 1 = 1 \cdot a = a, \ \ \forall \ a \in A $$ - Elemento inverso
Todo elemento de \( A \) tiene un inverso multiplicativo en \( A \), es decir: $$ a \cdot a^{-1} = 1, \ \ \forall \ a \in A $$Verificación.
Inverso de \( 1 \): $$ 1 \cdot 1 = 1 $$ Inverso de \( -1 \): $$ -1 \cdot -1 = 1 $$ Inverso de \( i \): $$ i \cdot (-i) = 1 $$ Inverso de \( -i \): $$ -i \cdot i = 1 $$
Se cumplen todos los axiomas de grupo.
Conclusión
Por tanto, el conjunto \( A \), bajo la operación de multiplicación, forma un grupo \( (A, \cdot) \).
Ejercicio 5
¿El conjunto finito \( \mathbb{Z}_8 = \{ 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 \} \) constituye un grupo bajo la suma módulo 8 \( (+_8) \)?
- Cerradura
La suma módulo 8 es cerrada en \( \mathbb{Z}_8 \): la suma de cualesquiera dos elementos de \( \mathbb{Z}_8 \), calculada módulo 8, pertenece nuevamente a \( \mathbb{Z}_8 \). La tabla de Cayley correspondiente es la siguiente:
a +8 b 0 1 2 3 4 5 6 7 0 0 1 2 3 4 5 6 7 1 1 2 3 4 5 6 7 0 2 2 3 4 5 6 7 0 1 3 3 4 5 6 7 0 1 2 4 4 5 6 7 0 1 2 3 5 5 6 7 0 1 2 3 4 6 6 7 0 1 2 3 4 5 7 7 0 1 2 3 4 5 6 - Asociatividad
La suma módulo 8 es asociativa: $$ (a + b) + c = a + (b + c), \ \ \forall \ a, b, c \in \mathbb{Z}_8 $$ - Elemento neutro
El conjunto \( \mathbb{Z}_8 \) contiene el elemento neutro para la suma, que es \( 0 \): $$ a + 0 = 0 + a = a, \ \ \forall \ a \in \mathbb{Z}_8 $$ - Elemento inverso
Todo elemento \( a \in \mathbb{Z}_8 \) posee su inverso aditivo \( a^{-1} \in \mathbb{Z}_8 \), tal que: $$ a + a^{-1} = 0 $$Ejemplo.
El inverso aditivo de \( a = 7 \) es \( a^{-1} = 1 \), ya que: $$ 7 +_8 1 = 0 $$ El inverso aditivo de \( a = 6 \) es \( a^{-1} = 2 \), ya que: $$ 6 +_8 2 = 0 $$ Y así sucesivamente.
Todos los axiomas de grupo se cumplen.
Conclusión
Por tanto, el conjunto finito \( \mathbb{Z}_8 \), bajo la suma módulo 8, constituye un grupo.
Ejercicio 6
Determinar los subgrupos propios e impropios del grupo multiplicativo (S, ·), donde S = { 1, -1, i, -i } está compuesto por cuatro números complejos.
El grupo multiplicativo (S, ·) se define sobre el siguiente conjunto de números complejos:
$$ S = \{ 1, -1, i, -i \} $$
Aquí, i representa la unidad imaginaria en el campo de los números complejos.
Comenzamos listando todos los subconjuntos de S, es decir, su conjunto de partes.
Como primer paso, descartamos aquellos subconjuntos S' ⊆ S que no contienen el elemento neutro u = 1, ya que dichos subconjuntos no pueden constituir subgrupos de (S, ·).
| 1 | -1 | i | -i | S' ⊆ S | Nota |
|---|---|---|---|---|---|
| * | * | * | * | S'={1,-1,i,-i} | |
| * | * | * | S'={1,-1,i} | ||
| * | * | * | S'={1,-1,-i} | ||
| * | * |
|
S'={1,-1} | ||
| * | * | * | S'={1,i,-i} | ||
| * | * | S'={1,i} | |||
| * | * | S'={1,-i} | |||
| * | S'={1} | ||||
| * | * | * | S'={-1,i,-i} | no contiene el elemento neutro u = 1 | |
| * | * | S'={-1,i} | no contiene el elemento neutro u = 1 | ||
| * | * | S'={-1,-i} | no contiene el elemento neutro u = 1 | ||
| * | S'={-1} | no contiene el elemento neutro u = 1 | |||
| * | * | S'={i,-i} | no contiene el elemento neutro u = 1 | ||
| * | S'={i} | no contiene el elemento neutro u = 1 | |||
| * | S'={-i} | no contiene el elemento neutro u = 1 | |||
| S'={} | no contiene el elemento neutro u = 1 |
A continuación, identificamos los subgrupos impropios: el grupo completo S' = S, y el subgrupo trivial S' = { 1 }:
| 1 | -1 | i | -i | S' ⊆ S | Nota |
|---|---|---|---|---|---|
| * | * | * | * | S'={1,-1,i,-i} | subgrupo impropio S'=S |
| * | * | * | S'={1,-1,i} | ||
| * | * | * | S'={1,-1,-i} | ||
| * | * |
|
S'={1,-1} | ||
| * | * | * | S'={1,i,-i} | ||
| * | * | S'={1,i} | |||
| * | * | S'={1,-i} | |||
| * | S'={1} | subgrupo trivial S'={u}={1} |
Procedemos ahora a examinar los subconjuntos candidatos S' para verificar si son cerrados bajo la operación multiplicativa. Dado que: $$ i^2 = -1 $$ comprobamos el cierre en cada caso:
| 1 | -1 | i | -i | S' ⊆ S | Nota |
|---|---|---|---|---|---|
| * | * | * | * | S'={1,-1,i,-i} | subgrupo impropio S'=S |
| * | * | * | S'={1,-1, i} | -1·i = -i ∉ {1,-1,i} | |
| * | * | * | S'={1,-1,-i} | -1·(-i) = i ∉ {1,-1,-i} | |
| * | * |
|
S'={1,-1} | ||
| * | * | * | S'={1,i,-i} | i·i = i2=-1 ∉ {1,i,-i} | |
| * | * | S'={1,i} | i·i = i2=-1 ∉ {1,i} | ||
| * | * | S'={1,-i} | (-i)·(-i) = i2=-1 ∉ {1,-i} | ||
| * | S'={1} | subgrupo trivial S'={u}={1} |
Nos centramos ahora en el subconjunto S' = { 1, -1 } para comprobar si forma efectivamente un subgrupo:
- S' = { 1, -1 } contiene el elemento neutro u = 1.
- S' = { 1, -1 } es cerrado bajo la multiplicación.
Queda por verificar el resto de axiomas de grupo:
- Todo elemento de S' posee inverso dentro de S': $$ 1 \cdot 1 = 1 = u $$ $$ (-1) \cdot (-1) = 1 = u $$
- La multiplicación es asociativa en S': $$ (a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c) \ \ \ \ \forall \ a, b, c \in \{ 1, -1 \} $$
Se cumplen todos los axiomas de grupo.
Concluimos entonces que el subconjunto S' = { 1, -1 } es un subgrupo propio de (S, ·).
| 1 | -1 | i | -i | S' ⊆ S | Nota |
|---|---|---|---|---|---|
| * | * | * | * | S' = { 1, -1, i, -i } | subgrupo impropio S' = S de (S, ·) |
| * | * | S' = { 1, -1 } | subgrupo propio de (S, ·) | ||
| * | S' = { 1 } | subgrupo trivial S' = { u } = { 1 } de (S, ·) |
En conclusión, el grupo multiplicativo (S, ·) posee exactamente tres subgrupos, de los cuales dos son impropios.
Ejercicio 6bis
Determinar los generadores del grupo cíclico (Z8, +8), donde Z8 = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 }, bajo la operación de suma módulo 8.
Examinamos los subgrupos cíclicos generados por cada elemento de Z8:
| Elemento x | Subgrupo generado por x | Orden de x |
|---|---|---|
| <0> | { 0 } | 1 |
| <1> | { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 } | 8 |
| <2> | { 0, 2, 4, 6 } | 4 |
| <3> | { 3, 6, 1, 4, 7, 2, 5, 0 } | 8 |
| <4> | { 0, 4 } | 2 |
| <5> | { 5, 2, 7, 4, 1, 6, 3, 0 } | 8 |
| <6> | { 6, 4, 2, 0 } | 4 |
| <7> | { 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1, 0 } | 8 |
Observamos que los elementos 1, 3, 5 y 7 generan todo el grupo Z8. Por lo tanto, dichos elementos son generadores del grupo cíclico (Z8, +8).
- <1> = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 } = Z8
- <3> = { 3, 6, 1, 4, 7, 2, 5, 0 } = Z8
- <5> = { 5, 2, 7, 4, 1, 6, 3, 0 } = Z8
- <7> = { 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1, 0 } = Z8
Ejercicio 7
Determina si el grupo simétrico sobre el conjunto S = { 1, 2, 3, 4 } es un grupo abeliano.
El conjunto S = { 1, 2, 3, 4 } está formado por n = 4 elementos:
$$ S = \{ 1, 2, 3, 4 \} $$
El grupo simétrico Sn es el conjunto de todas las permutaciones de S, donde la operación de grupo es la composición de permutaciones.
El conjunto S4 contiene n! = 24 elementos.
| σ | Permutación | Notación alternativa |
|---|---|---|
| σ1 | 1,2,3,4 | (1) |
| σ2 | 2,1,3,4 | (1,2) |
| σ3 | 3,2,1,4 | (1,3) |
| σ4 | 4,2,3,1 | (1,4) |
| σ5 | 1,3,2,4 | (2,3) |
| σ6 | 1,4,3,2 | (2,4) |
| σ7 | 1,2,4,3 | (3,4) |
| σ8 | 2,3,1,4 | (1,2,3) |
| σ9 | 3,1,2,4 | (1,3,2) |
| σ10 | 2,4,3,1 | (1,2,4) |
| σ11 | 4,1,3,2 | (1,4,2) |
| σ12 | 3,2,4,1 | (1,3,4) |
| σ13 | 4,2,1,3 | (1,4,3) |
| σ14 | 1,3,4,2 | (2,3,4) |
| σ15 | 1,4,2,3 | (2,4,3) |
| σ16 | 2,3,4,1 | (1,2,3,4) |
| σ17 | 2,4,1,3 | (1,2,4,3) |
| σ18 | 4,1,2,3 | (1,4,3,2) |
| σ19 | 3,1,4,2 | (1,3,4,2) |
| σ20 | 3,4,2,1 | (1,3,2,4) |
| σ21 | 4,3,1,2 | (1,4,2,3) |
| σ22 | 3,4,1,2 | (1,3)(2,4) |
| σ23 | 4,3,2,1 | (1,4)(2,3) |
| σ24 | 2,1,4,3 | (1,2)(3,4) |
Ejemplo 1. La permutación σ8 = (2, 3, 1, 4) puede expresarse también en notación de dos líneas como: $$ \sigma_8 = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 2 & 3 & 1 & 4 \end{pmatrix} $$ Funcionalmente: $$ \sigma_8 : S \rightarrow S \\ 1 \mapsto 2 \\ 2 \mapsto 3 \\ 3 \mapsto 1 \\ 4 \mapsto 4 $$ Esta permutación corresponde a un ciclo de longitud 3 (1 → 2 → 3 → 1), dejando fijo el elemento 4, por lo que en notación cíclica se escribe: $$ (1 \ 2 \ 3) $$ Como es habitual, el ciclo trivial en 4 se omite.
Ejemplo 2. La permutación σ22 = (3, 4, 1, 2) se representa como: $$ \sigma_{22} = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 3 & 4 & 1 & 2 \end{pmatrix} $$ Es decir: $$ \sigma_{22} : S \rightarrow S \\ 1 \mapsto 3 \\ 2 \mapsto 4 \\ 3 \mapsto 1 \\ 4 \mapsto 2 $$ lo cual corresponde a dos ciclos disjuntos de longitud 2: $$ (1 \ 3)(2 \ 4) $$
El conjunto de permutaciones S4 forma un grupo simétrico, denotado (S4, o), bajo la operación de composición o.
$$ (S_4,\text{o}) $$
Aquí, la composición hace referencia a la composición de funciones, que se escribe como fog = f(g), donde f y g son permutaciones.
Por ejemplo, la composición σ3 o σ5 = σ3(σ5) es:
$$ \sigma_3 \ \text{o} \ \sigma_5 = (3,2,1,4) \ \text{o} \ (1,3,2,4) $$
y en notación de dos líneas:
$$ \sigma_3 \ \text{o} \ \sigma_5 = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 3 & 2 & 1 & 4 \end{pmatrix} \ \text{o} \ \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 1 & 3 & 2 & 4 \end{pmatrix} $$
Nota. En notación cíclica alternativa: $$ \sigma_3 \text{o} \sigma_5 = (1,3) \ \text{o} \ (2,3) $$
Siguiendo la composición fog = f(g), primero se aplica g = σ5 y después f = σ3:
$$ 1 \rightarrow_g 1 \rightarrow_f 3 $$
$$ 2 \rightarrow_g 3 \rightarrow_f 1 $$
$$ 3 \rightarrow_g 2 \rightarrow_f 2 $$
$$ 4 \rightarrow_g 4 \rightarrow_f 4 $$
El resultado es la permutación (3,1,2,4):
$$ \sigma_3 \ \text{o} \ \sigma_5 = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 3 & 1 & 2 & 4 \end{pmatrix} $$
Es decir:
$$ \sigma_3 \ \text{o} \ \sigma_5 = (3,2,1,4) \ \text{o} \ (1,3,2,4) = (3,1,2,4) $$
Nota. En notación cíclica: $$ \sigma_3 \ \text{o} \ \sigma_5 = (1,3) \ \text{o} \ (1,3,2) $$
La permutación obtenida, σ3 o σ5, es (3,1,2,4), que pertenece a Sn:
$$ (3,1,2,4) = \sigma_9 \in S_n $$
Para determinar si (Sn, o) es un grupo abeliano, debemos comprobar si la composición es conmutativa.
Ahora calculemos la composición inversa σ5 o σ3 = σ5(σ3):
$$ \sigma_5 \ \text{o} \ \sigma_3 = (1,3,2,4) \ \text{o} \ (3,2,1,4) $$
que se expresa así:
$$ \sigma_5 \ \text{o} \ \sigma_3 = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 1 & 3 & 2 & 4 \end{pmatrix} \ \text{o} \ \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 3 & 2 & 1 & 4 \end{pmatrix} $$
Aplicamos primero g = σ3, seguido de f = σ5:
$$ 1 \rightarrow_g 4 \rightarrow_f 2 $$
$$ 2 \rightarrow_g 2 \rightarrow_f 3 $$
$$ 3 \rightarrow_g 1 \rightarrow_f 1 $$
$$ 4 \rightarrow_g 4 \rightarrow_f 4 $$
Obtenemos así la permutación (2,3,1,4):
$$ \sigma_5 \ \text{o} \ \sigma_3 = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 2 & 3 & 1 & 4 \end{pmatrix} $$
O equivalentemente:
$$ \sigma_5 \ \text{o} \ \sigma_3 = (1,3,2,4) \ \text{o} \ (3,2,1,4) = (2,3,1,4) $$
La permutación resultante σ5 o σ3 es (2,3,1,4), que pertenece igualmente a Sn:
$$ (2,3,1,4) = \sigma_8 \in S_n $$
Conclusión
La composición σ3 o σ5 da (3,1,2,4):
$$ \sigma_3 \ \text{o} \ \sigma_5 = (3,2,1,4) \ \text{o} \ (1,3,2,4) = (3,1,2,4) $$
Mientras que la composición inversa σ5 o σ3 da (2,3,1,4):
$$ \sigma_5 \ \text{o} \ \sigma_3 = (1,3,2,4) \ \text{o} \ (3,2,1,4) = (2,3,1,4) $$
Como los resultados son distintos, la operación no es conmutativa:
$$ \sigma_3 \ \text{o} \ \sigma_5 \ne \sigma_5 \ \text{o} \ \sigma_3 $$
En conclusión, el grupo (S4, o) no es abeliano, ya que no verifica la propiedad conmutativa.
Nota. De hecho, todos los grupos simétricos Sn con n > 2 no son abelianos, es decir, son grupos no conmutativos.
Ejercicio 8
Determina si el grupo aditivo (R,+) es homomorfo a sí mismo mediante la aplicación f: x→ x2
$$ f:(R,+) \rightarrow (R,+) $$
Un homomorfismo de grupos entre un grupo (G, *) y otro grupo (H, #) es una función f tal que:
$$ f:G \rightarrow H $$
y que satisface, para todos los elementos a, b en G, la propiedad siguiente:
$$ \forall \ a,b \in G \Rightarrow f(a * b) = f(a) \# f(b) $$
En este caso, consideramos la función f(x) = x2, con G = H = R, y ambos grupos estructurados como (R, +).
Por tanto, las operaciones binarias implicadas son * = + y # = +.
$$ \forall \ a,b \in R \Rightarrow (a+b)^2 = a^2 + b^2 $$
Sin embargo, el cuadrado de una suma no coincide con la suma de los cuadrados:
$$ (a+b)^2 \ne a^2 + b^2 $$
ya que en realidad:
$$ (a+b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab $$
En consecuencia, el grupo aditivo (R, +) no es homomorfo a sí mismo bajo la aplicación f(x) = x2.
Ejercicio 9
Determina si el grupo aditivo (Z, +) es homomorfo al grupo multiplicativo (Z, ·) mediante la aplicación f: x→ ix
donde i representa la unidad imaginaria en el cuerpo de los números complejos.
$$ f:(Z,+) \rightarrow (Z, \cdot) $$
Un homomorfismo de grupos entre un grupo (G, *) y otro grupo (H, #) es una función f que verifica:
$$ f:G \rightarrow H $$
y para todos los elementos a, b pertenecientes a G:
$$ \forall \ a,b \in G \Rightarrow f(a * b) = f(a) \# f(b) $$
En este caso, la función es f(x) = ix, con G = Z y H = Z, y consideramos los grupos (Z, +) y (Z, ·), respectivamente.
Por tanto, las operaciones binarias son * = + y # = ·.
$$ \forall \ a,b \in Z \Rightarrow i^{a+b} = i^a \cdot i^b $$
De acuerdo con las propiedades de los exponentes:
$$ i^{a+b} = i^a \cdot i^b $$
Observamos que se cumple la condición f(a * b) = f(a) # f(b) para todos los enteros a, b ∈ Z.
Por lo tanto, el grupo aditivo (Z, +) sí es homomorfo al grupo multiplicativo (Z, ·) mediante la aplicación f(x) = ix.
Ejemplo. Consideremos los enteros a = 2 y b = 3 en el grupo aditivo (Z, +). Verifiquemos la propiedad:
$$ f(a + b) = f(a) \cdot f(b) $$
La función es f: x → ix.
$$ i^{(2+3)} = i^2 \cdot i^3 $$
$$ i^5 = i^5 $$
La igualdad se verifica - y de hecho se cumple para cualquier par de enteros a y b.
Y así sucesivamente.
