Grupo abeliano

¿Qué es un grupo abeliano?

Un grupo abeliano es un grupo en el que la operación es conmutativa.

Por este motivo, también se denomina grupo conmutativo.

El término hace referencia al matemático noruego Niels Henrik Abel.

Ejemplo práctico

El grupo de los números enteros \( \mathbb{Z} \), con la suma como operación, es un claro ejemplo de grupo abeliano o grupo conmutativo.

$$ (\mathbb{Z}, +) $$

Esto se debe a que la suma cumple la propiedad conmutativa.

Para cualesquiera dos enteros \( a \) y \( b \), se verifica que:

$$ a+b = b+a \ \ \ \ \ \forall \ a,b \in \mathbb{Z} $$

Nota: Además de ser conmutativo, el conjunto \( (\mathbb{Z}, +) \) forma un grupo porque cumple con la propiedad asociativa: $$ a + (b+c) = (a+b)+c $$ posee un elemento neutro: $$ a+0 = 0+a = a $$ y cada elemento admite un inverso aditivo: $$ a + (-a) = (-a)+a = 0 $$

Otro ejemplo

El conjunto de los enteros con la multiplicación \( (\mathbb{Z}, \cdot) \) no constituye un grupo, ya que el cero carece de inverso multiplicativo (no se puede dividir entre cero).

$$ (\mathbb{Z}, \cdot) $$

Al no ser un grupo, la estructura algebraica \( (\mathbb{Z}, \cdot) \) tampoco puede calificarse como grupo abeliano.

Y así sucesivamente.