Determinación de la ecuación de una hipérbola a partir de un punto y de su excentricidad
Para hallar la ecuación de una hipérbola con centro en el origen, conociendo las coordenadas de un punto $ P(x_0;y_0) $ y su excentricidad $ e $, se procede del siguiente modo:
En primer lugar, se identifica el eje transverso - es decir, el eje sobre el que se encuentran los focos - a partir de la información adicional proporcionada en el enunciado.
- Si el eje transverso es el eje x, la ecuación de la hipérbola es: $$ \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1 $$ y la excentricidad se calcula mediante la fórmula: $$ e = \frac{c}{a} $$
- Si el eje transverso es el eje y, la ecuación es: $$ \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = -1 $$ y la excentricidad viene dada por: $$ e = \frac{c}{b} $$
Una vez determinado el eje transverso, se sustituyen en la ecuación los valores de las coordenadas del punto $ P(x_0;y_0) $. A continuación, se resuelve el sistema formado por esta ecuación y por la relación que define la excentricidad, con el fin de calcular las longitudes de los semiejes.
Ejemplo
Consideremos una hipérbola con centro en el origen, que pasa por el punto $ P(-6; 2 \sqrt{15}) $ y cuya excentricidad es $ e = \frac{\sqrt{7}}{2} $. En este caso, el eje transverso es el eje y.
Por tanto, la ecuación de la hipérbola es:
$$ \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = -1 $$
Y la excentricidad se define como:
$$ e = \frac{c}{b} $$
Planteamos el siguiente sistema de ecuaciones:
$$ \begin{cases} \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = -1 \\ \\ e = \frac{c}{b} \end{cases} $$
Sustituimos las coordenadas del punto $ P(-6; 2 \sqrt{15}) $ en la ecuación de la hipérbola:
$$ \begin{cases} \frac{(-6)^2}{a^2} - \frac{(2 \sqrt{15})^2}{b^2} = -1 \\ \\ e = \frac{c}{b} \end{cases} $$
Lo que se reduce a:
$$ \begin{cases} \frac{36}{a^2} - \frac{60}{b^2} = -1 \\ \\ e = \frac{c}{b} \end{cases} $$
Sustituyendo el valor de la excentricidad $ e = \frac{\sqrt{7}}{2} $, obtenemos:
$$ \begin{cases} \frac{36}{a^2} - \frac{60}{b^2} = -1 \\ \\ \frac{\sqrt{7}}{2} = \frac{c}{b} \end{cases} $$
Recordando que en una hipérbola se cumple $ c^2 = a^2 + b^2 $, se puede expresar $ c = \sqrt{a^2 + b^2} $:
$$ \begin{cases} \frac{36}{a^2} - \frac{60}{b^2} = -1 \\ \\ \frac{\sqrt{7}}{2} = \sqrt{1 + \frac{a^2}{b^2}} \end{cases} $$
Elevando al cuadrado la segunda ecuación:
$$ \begin{cases} \frac{36}{a^2} - \frac{60}{b^2} = -1 \\ \\ \frac{7}{4} = 1 + \frac{a^2}{b^2} \end{cases} $$
De donde se deduce:
$$ \begin{cases} \frac{36}{a^2} - \frac{60}{b^2} = -1 \\ \\ \frac{a^2}{b^2} = \frac{3}{4} \end{cases} $$
Sustituyendo $ a^2 = \frac{3}{4} \cdot b^2 $ en la primera ecuación:
$$ \begin{cases} \frac{36}{\frac{3}{4} b^2} - \frac{60}{b^2} = -1 \\ \\ a^2 = \frac{3}{4} b^2 \end{cases} $$
Reescribiendo:
$$ \begin{cases} \frac{144}{3b^2} - \frac{60}{b^2} = -1 \\ \\ a^2 = \frac{3}{4} b^2 \end{cases} $$
$$ \begin{cases} \frac{-36}{3b^2} = -1 \\ \\ a^2 = \frac{3}{4} b^2 \end{cases} $$
$$ \begin{cases} \frac{-12}{b^2} = -1 \\ \\ a^2 = \frac{3}{4} b^2 \end{cases} $$
De donde se obtiene:
$$ \begin{cases} b^2 = 12 \\ \\ a^2 = \frac{3}{4} \cdot 12 \end{cases} $$
Extrayendo raíces cuadradas:
$$ \begin{cases} b = 2\sqrt{3} \\ \\ a^2 = 9 \end{cases} $$
Por tanto:
$$ \begin{cases} b = 2\sqrt{3} \\ \\ a = 3 \end{cases} $$
Conociendo los valores de $ a $ y $ b $, podemos escribir la ecuación estándar de la hipérbola:
$$ \frac{x^2}{9} - \frac{y^2}{12} = -1 $$
Esta es la ecuación de la hipérbola centrada en el origen, que pasa por el punto $ P(-6; 2 \sqrt{15}) $ y cuya excentricidad es $ e = \frac{\sqrt{7}}{2} $, con eje transverso alineado con el eje y.
Y con esto, queda determinada.
