Ejercicio de integrales 5
En este ejercicio vamos a calcular la integral
$$ \int \frac{1}{x \sqrt{2x-1}} dx $$
La resolveremos utilizando el método de sustitución, una técnica fundamental en el cálculo integral.
Existen dos maneras habituales de plantear la sustitución. Ambas son correctas y conducen exactamente al mismo resultado. A continuación las desarrollamos paso a paso.
Método 1
La dificultad principal de la integral está en la presencia de la raíz cuadrada:
$$ \int \frac{1}{x \sqrt{2x-1}} dx $$
Para simplificar el cálculo, introducimos una nueva variable que represente la expresión bajo la raíz:
$$ t = \sqrt{2x-1} $$
Derivamos ambos lados con respecto a sus variables:
$$ D[t] \ dt = D[\sqrt{2x-1}] \ dx $$
$$ 1 \ dt = \frac{1}{2 \sqrt{2x-1}} \cdot 2 \ dx $$
$$ dt = \frac{1}{\sqrt{2x-1}} \ dx $$
Esta expresión aparece directamente en el integrando, por lo que podemos sustituirla sin dificultad:
$$ \int \frac{1}{x \sqrt{2x-1}} dx $$
$$ \int \frac{1}{x} \cdot \left( \frac{1}{\sqrt{2x-1}} dx \right) $$
$$ \int \frac{1}{x} \cdot dt $$
$$ \int \frac{1}{x} \ dt $$
Ahora necesitamos escribir \( x \) en función de \( t \). Partimos de
$$ t = \sqrt{2x-1} $$
y elevamos ambos lados al cuadrado:
$$ t^2 = 2x - 1 $$
Despejando \( x \), obtenemos:
$$ x = \frac{t^2 + 1}{2} $$
Sustituimos esta expresión en la integral:
$$ \int \frac{1}{\frac{t^2 + 1}{2}} \ dt $$
$$ \int \frac{2}{t^2 + 1} \ dt $$
$$ 2 \int \frac{1}{t^2 + 1} \ dt $$
Gracias a la linealidad de la integral, el factor constante 2 puede extraerse:
$$ 2 \int \frac{1}{t^2 + 1} \ dt $$
Esta es una integral elemental, cuya primitiva es la función arcotangente:
$$ 2 \arctan(t) + C $$
Nota. La derivada de la función arcotangente es $$ D[\arctan t] = \frac{1}{1+t^2} $$
Como \( C \) es una constante de integración arbitraria, no es necesario escribir \( 2C \). Usamos la forma más simple:
$$ 2 \arctan(t) + C $$
Finalmente, volvemos a la variable original sustituyendo \( t = \sqrt{2x - 1} \):
$$ 2 \arctan(\sqrt{2x-1}) + C $$
Este es el resultado final.
Método 2
En este segundo enfoque partimos de la misma integral:
$$ \int \frac{1}{x \sqrt{2x-1}} dx $$
Definimos de nuevo la sustitución:
$$ t = \sqrt{2x - 1} $$
y despejamos \( x \):
$$ t^2 = 2x - 1 \Rightarrow x = \frac{t^2 + 1}{2} $$
Calculamos ahora el diferencial:
$$ dx = \frac{d}{dt} \left( \frac{t^2 + 1}{2} \right) dt = \frac{2t}{2} dt = t \, dt $$
Sustituimos \( dx = t \, dt \) en la integral original:
$$ \int \frac{1}{x \sqrt{2x-1}} dx = \int \frac{1}{x \cdot \sqrt{2x-1}} \cdot t \ dt $$
Recordando que \( x = \frac{t^2 + 1}{2} \), obtenemos:
$$ \int \frac{1}{\frac{t^2 + 1}{2} \cdot \sqrt{2 \cdot \frac{t^2 + 1}{2} - 1}} \cdot t \ dt $$
Simplificamos la expresión bajo la raíz:
$$ \sqrt{(t^2 + 1) - 1} = \sqrt{t^2} = t $$
El integrando se simplifica entonces a:
$$ \int \frac{1}{\frac{t^2 + 1}{2} \cdot t} \cdot t \ dt $$
Los factores \( t \) se cancelan:
$$ \int \frac{1}{\frac{t^2 + 1}{2}} \ dt $$
Lo que equivale a:
$$ \int \frac{2}{t^2 + 1} \ dt = 2 \int \frac{1}{t^2 + 1} \ dt $$
La integral se resuelve de inmediato:
$$ 2 \arctan(t) + C $$
Y regresando a la variable original:
$$ 2 \arctan(\sqrt{2x - 1}) + C $$
Esta es, nuevamente, la solución final.
Con esto damos por finalizado el ejercicio.
