Cómo determinar la ecuación de una parábola a partir de tres puntos

Para hallar la ecuación de una parábola que pasa por tres puntos distintos \( A(x_1, y_1) \), \( B(x_2, y_2) \) y \( C(x_3, y_3) \), se puede utilizar un sistema de ecuaciones simultáneas.

La forma general de una parábola es:

\[ y = ax^2 + bx + c \]

Al sustituir las coordenadas de los tres puntos en esta expresión, se obtiene un sistema de tres ecuaciones lineales con tres incógnitas:

$$ y_1 = ax_1^2 + bx_1 + c $$

$$ y_2 = ax_2^2 + bx_2 + c $$

$$ y_3 = ax_3^2 + bx_3 + c $$

Este sistema puede escribirse así:

$$ \begin{cases} ax_1^2 + bx_1 + c = y_1 \\ \\ ax_2^2 + bx_2 + c = y_2 \\ \\ ax_3^2 + bx_3 + c = y_3 \\ \end{cases} $$

Resolviendo este sistema se determinan los coeficientes \( a \), \( b \) y \( c \), que definen la parábola buscada.

Ejemplo práctico

Consideremos los puntos \( A(1, 2) \), \( B(2, 3) \) y \( C(3, 5) \).

Sustituimos sus coordenadas en la ecuación general:

$$ \begin{cases} a(1)^2 + b(1) + c = 2 \\ \\ a(2)^2 + b(2) + c = 3 \\ \\ a(3)^2 + b(3) + c = 5 \\ \end{cases} $$

Lo que se reduce a:

$$ \begin{cases} a + b + c = 2 \\ \\ 4a + 2b + c = 3 \\ \\ 9a + 3b + c = 5 \\ \end{cases} $$

Para resolverlo, aplicaremos la regla de Cramer.

Nota: Puedes emplear cualquier método de resolución de sistemas: sustitución, reducción, matrices, etc.

Reescribimos el sistema en forma matricial:

$$ \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 4 & 2 & 1 \\ 9 & 3 & 1 \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a \\ b \\ c \\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 5 \\ \end{pmatrix} $$

El determinante de la matriz de coeficientes es:

$$ \Delta = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 4 & 2 & 1 \\ 9 & 3 & 1 \\ \end{vmatrix} = 1 \cdot \begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 3 & 1 \end{vmatrix} - 1 \cdot \begin{vmatrix} 4 & 1 \\ 9 & 1 \end{vmatrix} + 1 \cdot \begin{vmatrix} 4 & 2 \\ 9 & 3 \end{vmatrix} = -1 + 5 - 6 = -2 $$

Calculamos ahora los determinantes de las matrices obtenidas al sustituir una columna por el vector de términos independientes:

$$ \Delta_a = \begin{vmatrix} 2 & 1 & 1 \\ 3 & 2 & 1 \\ 5 & 3 & 1 \\ \end{vmatrix} = 2 \cdot \begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 3 & 1 \end{vmatrix} - 1 \cdot \begin{vmatrix} 3 & 1 \\ 5 & 1 \end{vmatrix} + 1 \cdot \begin{vmatrix} 3 & 2 \\ 5 & 3 \end{vmatrix} = -2 + 2 - 1 = -1 $$

$$ \Delta_b = \begin{vmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 4 & 3 & 1 \\ 9 & 5 & 1 \\ \end{vmatrix} = 1 \cdot \begin{vmatrix} 3 & 1 \\ 5 & 1 \end{vmatrix} - 2 \cdot \begin{vmatrix} 4 & 1 \\ 9 & 1 \end{vmatrix} + 1 \cdot \begin{vmatrix} 4 & 3 \\ 9 & 5 \end{vmatrix} = -2 + 10 - 7 = 1 $$

$$ \Delta_c = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 2 \\ 4 & 2 & 3 \\ 9 & 3 & 5 \\ \end{vmatrix} = 1 \cdot \begin{vmatrix} 2 & 3 \\ 3 & 5 \end{vmatrix} - 1 \cdot \begin{vmatrix} 4 & 3 \\ 9 & 5 \end{vmatrix} + 2 \cdot \begin{vmatrix} 4 & 2 \\ 9 & 3 \end{vmatrix} = 1 + 7 - 12 = -4 $$

Finalmente, aplicamos la regla de Cramer:

$$ a = \frac{\Delta_a}{\Delta} = \frac{-1}{-2} = \frac{1}{2} $$

$$ b = \frac{\Delta_b}{\Delta} = \frac{1}{-2} = -\frac{1}{2} $$

$$ c = \frac{\Delta_c}{\Delta} = \frac{-4}{-2} = 2 $$

La ecuación de la parábola es, entonces:

$$ y = \frac{1}{2}x^2 - \frac{1}{2}x + 2 $$

Esta parábola pasa exactamente por los puntos \( A(1, 2) \), \( B(2, 3) \) y \( C(3, 5) \).

¡Así se determina la ecuación de una parábola a partir de tres puntos conocidos!