Polygones équidécomposables

On dit que deux polygones sont équidécomposables lorsqu'ils peuvent être découpés en un même nombre fini de pièces polygonales, les pièces de l'un étant deux à deux congruentes à celles de l'autre.

Autrement dit, deux polygones sont équidécomposables si l'on peut les découper en plusieurs pièces de façon que chaque pièce du premier soit congruente à une pièce du second.

Il suffit alors de déplacer et de réagencer les pièces, au moyen d'isométries du plan, pour passer d'un polygone à l'autre, sans modifier leur forme ni leurs dimensions.

Par exemple, considérons deux polygones (Figure 1 et Figure 2). Si l'on peut découper le premier en plusieurs pièces qui, une fois réagencées, permettent de reconstituer exactement le second, et réciproquement, alors ces deux polygones sont équidécomposables.

Remarque : La notion d'équidécomposabilité est liée à la comparaison des aires et des volumes, mais elle ne doit pas être confondue avec le principe de Cavalieri. Celui-ci affirme notamment que deux solides compris entre deux plans parallèles ont le même volume si leurs sections par tout plan parallèle à ces deux plans ont la même aire. L'équidécomposabilité repose, quant à elle, sur un découpage en un nombre fini de pièces congruentes deux à deux.

Un exemple concret

Considérons deux polygones : la Figure 1 et la Figure 2.

Je commence par décomposer le polygone de la Figure 1 en deux polygones plus petits : ACD et BCD.

L'aire du polygone initial ABC est alors égale à la somme des aires des deux polygones obtenus.

$$ Aire(ABC) = Aire(ACD) + Aire(BCD) $$

Je réagence ensuite ces deux pièces de façon qu'elles recouvrent entièrement le second polygone, sans se chevaucher.

Les deux polygones peuvent donc être décomposés en pièces respectivement congruentes. Ils ont par conséquent la même aire (aires équivalentes).

$$ ACD \cong B'C'D' $$ $$ BCD \cong A'B'D' $$

Les deux polygones sont ainsi constitués des mêmes pièces polygonales, à isométrie près, mais disposées différemment.

Puisque les pièces correspondantes sont congruentes, elles ont deux à deux la même aire. L'aire totale de chaque polygone est donc égale à la somme des aires de ses différentes pièces. Les deux polygones ont ainsi nécessairement la même aire.

On dit alors qu'ils sont équidécomposables.

Remarques

Voici quelques propriétés et résultats importants à connaître sur l'équidécomposabilité des polygones :

• La suppression de parties congruentes conserve l'équidécomposabilité dans les configurations appropriées
  De même que l'on peut obtenir une équidécomposition en réunissant des pièces congruentes, on peut retrancher des parties congruentes correspondantes lorsque les découpages considérés le permettent.
• Deux polygones équidécomposables ont la même aire
  Les pièces correspondantes étant congruentes, elles ont deux à deux la même aire. La somme de leurs aires est donc identique pour les deux polygones. Dans le vocabulaire classique de la géométrie, on dit également que ces polygones sont équivalents, c'est-à-dire qu'ils ont la même aire.
• L'équidécomposabilité est une relation d'équivalence
  Pour un groupe d'isométries donné, l'équidécomposabilité définit une relation d'équivalence : elle est réflexive, symétrique et transitive. Les polygones peuvent donc être regroupés en classes d'équivalence selon le type d'équidécomposition considéré.
• Dans le plan, deux polygones de même aire sont équidécomposables
  Ce résultat fondamental est connu sous le nom de théorème de Bolyai-Gerwien. Il affirme que deux polygones plans de même aire peuvent toujours être découpés en un nombre fini de pièces polygonales telles que les pièces correspondantes soient congruentes.

  Exemple : Un triangle et un carré de même aire sont équidécomposables. Il est donc possible de découper le triangle en un nombre fini de pièces puis de réagencer celles-ci, au moyen d'isométries du plan, pour former exactement le carré.

• En dimension trois, l'égalité des volumes ne suffit pas
  La situation change lorsqu'on passe des polygones aux polyèdres. Dans le cadre du troisième problème de Hilbert, Max Dehn a montré en 1900 que deux polyèdres de même volume ne sont pas nécessairement équidécomposables.

  Exemple : Il existe des polyèdres de même volume qui ne peuvent pas être découpés en un nombre fini de pièces polyédriques congruentes deux à deux. L'invariant de Dehn permet de distinguer certains de ces polyèdres et constitue ainsi une obstruction à leur équidécomposabilité.

• L'équidécomposabilité dans l'histoire de la géométrie
  L'étude des découpages géométriques occupe une place importante dans l'histoire des mathématiques. Dans le plan, le théorème de Bolyai-Gerwien établit un lien remarquable entre l'égalité des aires et l'équidécomposabilité des polygones. En dimension trois, le troisième problème de Hilbert révèle une situation beaucoup plus complexe : l'égalité des volumes ne suffit plus à garantir l'équidécomposabilité.

  Exemple : Il faut distinguer l'équidécomposabilité des polygones du célèbre problème grec de la quadrature du cercle. Ce dernier consiste à construire, à la règle et au compas, un carré ayant la même aire qu'un cercle donné. Il ne s'agit donc pas de découper un carré en un nombre fini de pièces polygonales pour former exactement un disque. Ces deux problèmes correspondent à des questions géométriques différentes.

Et ainsi de suite.