Aire d'un polygone circonscrit à un cercle

L'aire d'un polygone circonscrit à un cercle s'obtient en multipliant le demi-périmètre (p) du polygone par le rayon (r) du cercle inscrit. $$ A = p \cdot r $$ Le demi-périmètre (p) correspond à la moitié du périmètre (P) du polygone, c'est-à-dire p = P/2.

Autrement dit, pour calculer l'aire du polygone, il suffit de multiplier son périmètre par le rayon du cercle inscrit, puis de diviser le résultat par deux.

$$ A = \frac{P \cdot r}{2} $$

Comme le périmètre est égal au double du demi-périmètre, on a P = 2p. En remplaçant P par 2p dans la formule précédente, on obtient :

$$ A = \frac{2p \cdot r}{2} $$

Après simplification :

$$ A = p \cdot r $$

Cette formule permet donc de déterminer directement l'aire (A) du polygone à partir de son demi-périmètre (p) et du rayon (r) du cercle inscrit.

Remarque : dans un polygone régulier, le rayon du cercle inscrit est égal à l'apothème du polygone.

Démonstration

Pour comprendre l'origine de cette formule, considérons un hexagone circonscrit à un cercle.

Relions le centre du cercle inscrit aux sommets de l'hexagone. Le polygone est alors décomposé en 6 triangles. Dans chacun d'eux, un côté (l) du polygone sert de base et le rayon (r) du cercle inscrit constitue la hauteur correspondante.

En effet, le rayon mené au point de tangence est perpendiculaire au côté du polygone.

L'aire de chacun de ces triangles est égale au produit de la base par la hauteur, divisé par deux. Elle vaut donc :

$$ \frac{l \cdot r}{2} $$

Pour obtenir l'aire totale du polygone, il suffit alors d'additionner les aires des 6 triangles. Ainsi, l'aire du polygone est égale à la somme des aires des triangles qui le composent.

$$ A = \frac{ \overline{AB} \cdot r }{2} + \frac{ \overline{BC} \cdot r }{2} + \frac{ \overline{CD} \cdot r }{2} + \frac{ \overline{DE} \cdot r }{2} + \frac{ \overline{EF} \cdot r }{2} + \frac{ \overline{FA} \cdot r }{2} $$

Le facteur r/2 étant commun à tous les termes, on peut le mettre en facteur :

$$ A = \frac{ ( \overline{AB} + \overline{BC} + \overline{CD} + \overline{DE} + \overline{EF} + \overline{FA} ) \cdot r }{2} $$

Or la somme des longueurs des côtés entre parenthèses correspond exactement au périmètre P de l'hexagone. On obtient donc :

$$ A = \frac{ P \cdot r }{2} $$

Comme le périmètre est égal au double du demi-périmètre, soit P = 2p, on peut écrire :

$$ A = \frac{ 2p \cdot r }{2} $$

En simplifiant par 2 :

$$ A = p \cdot r $$

On retrouve ainsi la formule de départ : l'aire d'un polygone circonscrit à un cercle est égale au produit de son demi-périmètre par le rayon du cercle inscrit.

Interprétation géométrique : la relation $$ A = \frac{P \cdot r}{2} $$ permet également d'interpréter cette aire comme celle d'un triangle rectangle dont les deux côtés perpendiculaires ont respectivement pour longueurs le périmètre P du polygone et le rayon r du cercle inscrit.

Remarques complémentaires

La formule de l'aire permet aussi de retrouver facilement le rayon du cercle inscrit ou le demi-périmètre du polygone lorsque les deux autres grandeurs sont connues.

• Formules inverses
  À partir de la relation $$ A = p \cdot r $$ si l'on connaît l'aire (A) et le demi-périmètre (p), on peut calculer le rayon du cercle inscrit : $$ r = \frac{A}{p} $$ Si l'on connaît, au contraire, l'aire (A) et le rayon (r), on peut déterminer le demi-périmètre : $$ p = \frac{A}{r} $$

Il est donc possible de déterminer l'une des trois grandeurs A, p ou r dès que les deux autres sont connues.