Somme des angles extérieurs d'un polygone convexe

Dans tout polygone convexe à $n$ côtés, la somme des angles extérieurs, en prenant un seul angle extérieur à chaque sommet et en conservant le même sens d'orientation, est toujours égale à un tour complet, soit 360°.

Ce résultat est remarquable par sa simplicité : la somme des angles extérieurs reste constante, quels que soient le nombre de côtés et la forme du polygone. Elle constitue donc un invariant géométrique.

Ainsi, que l'on considère un triangle, un quadrilatère, un pentagone ou, plus généralement, un polygone convexe à $n$ côtés, la somme de ses angles extérieurs est toujours égale à 360°.

Exemple : imaginez que vous longiez une clôture dont le tracé forme un polygone convexe. Peu importe sa forme exacte : elle peut comporter de nombreux sommets ou seulement quelques-uns. À chaque sommet, vous devez tourner pour continuer à suivre son contour.

Lorsque vous avez parcouru tout le périmètre et retrouvé votre point de départ avec la même orientation, la somme de tous ces changements de direction est exactement égale à 360°. Vous avez donc effectué, au total, un tour complet.

Démonstration

Considérons un polygone convexe.

Prenons, par exemple, un polygone à $n = 5$ côtés.

À chaque sommet, l'angle extérieur d'un polygone convexe est adjacent à un angle intérieur.

L'angle intérieur et l'angle extérieur adjacent sont supplémentaires : leur somme est donc égale à un angle plat, soit 180°.

Un polygone convexe à $n$ côtés possède $n$ sommets. On obtient donc $n$ paires formées chacune d'un angle intérieur et de l'angle extérieur adjacent. Puisque chaque paire a pour somme 180°, la somme de l'ensemble de ces angles est égale à $n \times 180°$.

$$ n \cdot 180° $$

Nous savons par ailleurs que la somme des angles intérieurs d'un polygone convexe à $n$ côtés est égale à $(n-2) \times 180°$. Pour trouver la somme des angles extérieurs, il suffit donc de retrancher la somme des angles intérieurs de la somme totale des $n$ paires d'angles supplémentaires.

Autrement dit, la somme des angles extérieurs est égale à la différence entre la somme de tous les angles intérieurs et extérieurs et la somme des seuls angles intérieurs.

On obtient alors :

$$ n \cdot 180° - [ (n-2) \cdot 180° ] $$

Simplifions cette expression étape par étape :

$$ [ n - (n-2) ] \cdot 180° = $$

$$ ( n - n + 2 ) \cdot 180° = $$

$$ 2 \cdot 180° = 360° $$

Le résultat ne dépend donc pas de $n$. Quel que soit le nombre de côtés, la somme des angles extérieurs d'un polygone convexe est toujours égale à 360°.

C'est exactement ce qu'exprime la propriété de la somme des angles extérieurs d'un polygone convexe.

Remarques

Quelques points permettent de mieux comprendre et de retenir cette propriété :

• La somme des angles extérieurs ne dépend pas du nombre de côtés du polygone
  Pour tout polygone convexe, la somme des angles extérieurs est toujours égale à 360°, à condition de prendre exactement un angle extérieur à chaque sommet et de conserver la même convention d'orientation. Cette valeur est donc indépendante du nombre de côtés et de la forme du polygone.
• La somme des angles intérieurs dépend, quant à elle, du nombre de côtés
  Pour un polygone convexe à $n$ côtés, la somme des angles intérieurs est donnée par la formule $ (n-2) \cdot 180° $. Elle varie donc avec $n$, contrairement à la somme des angles extérieurs.
• La rotation totale permet de visualiser facilement le résultat
  Lorsqu'on parcourt successivement tous les côtés d'un polygone convexe dans un sens donné, chaque angle extérieur correspond à un changement de direction. Une fois le tour du polygone achevé, on retrouve la direction initiale après avoir effectué au total une rotation de 360°. Cette interprétation donne une lecture géométrique intuitive de la propriété.

La somme des angles extérieurs illustre ainsi une propriété fondamentale de la géométrie des polygones : malgré la diversité de leurs formes et de leur nombre de côtés, un tour complet de leur contour correspond toujours à une rotation totale de 360°.