Calcul de l'aire d'un polygone irrégulier
Comment calculer l'aire d'un polygone irrégulier ou, plus généralement, d'une figure plane quelconque ? Contrairement aux figures géométriques élémentaires, il n'existe pas toujours une formule directement applicable. On peut toutefois utiliser plusieurs méthodes, selon la forme étudiée et les données dont on dispose. Parmi les plus utiles figurent la décomposition en figures simples, l'approximation par des polygones et, lorsque les coordonnées des sommets sont connues, la formule du lacet.
Décomposition en figures géométriques élémentaires
Une première méthode consiste à décomposer la figure en formes plus simples, telles que des triangles, des rectangles ou des trapèzes, dont on sait facilement calculer l'aire.
Il suffit ensuite de calculer séparément l'aire de chaque figure élémentaire, puis d'additionner les résultats pour obtenir l'aire totale du polygone irrégulier.
Cette méthode fonctionne très bien lorsque la figure est entièrement polygonale. En revanche, lorsqu'une partie de son contour est courbe et ne peut pas être décomposée exactement en figures polygonales élémentaires, il faut recourir à une approximation.
Considérons, par exemple, la figure curviligne suivante :
Pour en estimer l'aire, on commence par construire un polygone inscrit qui épouse au mieux le contour de la figure. L'objectif est de réduire autant que possible l'aire des régions comprises entre le polygone et la courbe.
On décompose ensuite ce polygone en figures géométriques élémentaires. On calcule l'aire de chacune d'elles, puis on additionne toutes les aires obtenues.
On trouve ainsi l'aire A1=82 du polygone inscrit.
On procède ensuite dans l'autre sens en construisant un polygone circonscrit qui contient entièrement la figure curviligne. Là encore, on cherche à réduire autant que possible l'aire comprise entre le contour du polygone et celui de la figure.
Ce polygone circonscrit est lui aussi décomposé en figures géométriques élémentaires. On calcule leurs aires, puis on additionne les résultats.
On obtient ainsi l'aire A2 du polygone circonscrit.
On dispose maintenant de deux bornes. L'aire A de la figure curviligne est supérieure à celle du polygone inscrit A1=82 et inférieure à celle du polygone circonscrit A2=182. On peut donc écrire :
$$ A_1 < A < A_2 $$
$$ 82 < A < 182 $$
Pour obtenir une valeur approchée, une méthode simple consiste à calculer la moyenne arithmétique de ces deux bornes :
$$ A = \frac{A_1 + A_2}{2} $$
$$ A = \frac{82 + 182}{2} $$
$$ A = \frac{264}{2} $$
$$ A = 132 $$
Avec cette méthode, l'aire approchée de la figure est donc de 132 unités carrées.
Il s'agit d'une estimation : sa précision dépend de la manière dont les polygones inscrit et circonscrit approchent le contour réel de la figure.
Remarque : la moyenne des aires des polygones inscrit et circonscrit fournit ici une valeur approchée, mais elle ne constitue pas une définition générale de l'aire. Plus les approximations polygonales épousent précisément le contour de la figure, plus l'écart entre l'approximation intérieure et l'approximation extérieure diminue.
Cette idée, qui consiste à approcher une aire à l'aide de sommes associées à des subdivisions de plus en plus fines, est formalisée en analyse mathématique. Elle est notamment au cœur de la définition de l'intégrale de Riemann.
Formule du lacet, ou formule de Gauss pour l'aire d'un polygone
Lorsque les coordonnées cartésiennes des sommets d'un polygone sont connues, il existe une méthode particulièrement efficace : la formule du lacet, également associée à la formule de Gauss pour l'aire d'un polygone.
Considérons un polygone simple dont les sommets, parcourus dans l'ordre le long de son contour, ont pour coordonnées (x1,y1), (x2,y2), ..., (xn,yn). Pour refermer la suite, on pose (xn+1,yn+1) = (x1,y1). Son aire A est alors donnée par :
$$ A = \frac{1}{2} \cdot \left| \sum_{i=1}^{n} ( x_i y_{i+1} - x_{i+1} y_i ) \right| $$
Voyons comment appliquer cette formule au polygone irrégulier suivant :
Les coordonnées de ses sommets sont :
$$ (x_1;y_1) = (1;1) \\ (x_2;y_2) = (1;4) \\ (x_3;y_3) = (2;3) \\ (x_4;y_4) = (3;4) \\ (x_5;y_5) = (3;3) \\ (x_6;y_6) = (5;3) \\ (x_7;y_7) = (5;2) $$
Pour refermer la suite des sommets dans la formule, on reprend le point initial à la fin de la liste :
$$ (x_8;y_8) = (1;1) $$
On peut maintenant appliquer la formule du lacet :
$$ A = \frac{1}{2} \cdot \left| \sum_{i=1}^{7} ( x_i y_{i+1} - x_{i+1} y_i ) \right| $$
Développons d'abord la somme afin de faire apparaître chaque terme :
$$ A = \frac{1}{2} \cdot \left| (x_1 y_2 - x_2 y_1) + (x_2 y_3 - x_3 y_2) + (x_3 y_4 - x_4 y_3) + \\ \ \ \ \ + (x_4 y_5 - x_5 y_4) + (x_5 y_6 - x_6 y_5) + (x_6 y_7 - x_7 y_6) + (x_7 y_8 - x_8 y_7) \right| $$
Remplaçons ensuite les coordonnées par leurs valeurs : x1=1, x2=1, x3=2, x4=3, x5=3, x6=5, x7=5, x8=1; y1=1, y2=4, y3=3, y4=4, y5=3, y6=3, y7=2, y8=1.
$$ A = \frac{1}{2} \cdot \left| (1 \cdot 4 - 1 \cdot 1) + (1 \cdot 3 - 2 \cdot 4) + (2 \cdot 4 - 3 \cdot 3) + \\ \ \ \ \ + (3 \cdot 3 - 3 \cdot 4) + (3 \cdot 3 - 5 \cdot 3) + (5 \cdot 2 - 5 \cdot 3) + (5 \cdot 1 - 1 \cdot 2) \right| $$
Effectuons maintenant les calculs :
$$ A = \frac{1}{2} \cdot \left| (4 - 1) + (3 - 8) + (8 - 9) + (9 - 12) + (9 - 15) + (10 - 15) + (5 - 2) \right| $$
$$ A = \frac{1}{2} \cdot \left| 3 - 5 - 1 - 3 - 6 - 5 + 3 \right| $$
$$ A = \frac{1}{2} \cdot |-14| $$
$$ A = \frac{1}{2} \cdot 14 $$
$$ A = 7 $$
Dans le repère considéré, l'aire du polygone est donc égale à 7 unités d'aire. Chaque carreau du quadrillage représentant une surface de 5x5=25 unités carrées, il faut multiplier cette valeur par 25 pour obtenir l'aire correspondant à l'échelle de la figure.
On obtient donc 25×7, soit 175 unités carrées.
On retrouve ainsi le même résultat que celui obtenu précédemment.
Cette méthode peut être appliquée de la même manière à tout polygone simple dont les coordonnées des sommets sont connues.
