Relation entre la longueur du côté d'un hexagone régulier et le rayon de son cercle inscrit

Dans un hexagone régulier, la longueur du côté (l) est directement liée au rayon (r) du cercle inscrit. La relation entre ces deux grandeurs est donnée par la formule suivante : $$ l = \frac{2 \sqrt{3}}{3} \cdot r $$

Le rayon du cercle inscrit correspond à l'apothème (a) de l'hexagone régulier. On peut donc écrire exactement la même relation en utilisant l'apothème :

$$ l = \frac{2 \sqrt{3}}{3} \cdot a  $$

Cette écriture est couramment utilisée en géométrie. Elle est strictement équivalente à la précédente puisque, dans un hexagone régulier, r = a.

Formules inverses. Si l'on connaît la longueur du côté (l), on peut inversement déterminer le rayon (r) du cercle inscrit : $$ r = l \cdot \frac{3}{2 \sqrt{3}} = l \cdot \frac{\sqrt{3} }{2} $$ De la même manière, l'apothème se calcule avec la formule : $$ a = l \cdot \frac{3}{2 \sqrt{3}} = l \cdot \frac{\sqrt{3} }{2} $$

Exemple d'application

Prenons un hexagone régulier dont les côtés mesurent 2 et dont le cercle inscrit a pour rayon r = 1.7321.

À partir du rayon du cercle inscrit, nous pouvons retrouver la longueur du côté grâce à la formule :

$$ l = \frac{2 \sqrt{3}}{3} \cdot r $$

Dans notre exemple, le rayon vaut r = 1.7321.

Remplaçons donc r par cette valeur :

$$ l = \frac{2 \sqrt{3}}{3} \cdot 1.7321 $$

En effectuant le calcul, on obtient, compte tenu de l'arrondi :

$$ l \approx 2 $$

La valeur 1.7321 est elle-même une approximation de \(\sqrt{3}\). Le résultat est donc approximativement égal à 2. Dans cet exemple, le rayon (r) est également égal à l'apothème (a) de l'hexagone.

Démonstration

Voyons maintenant pourquoi cette formule est valable. Considérons un hexagone régulier muni de son cercle inscrit, de centre O et de rayon r.

Le centre du cercle inscrit coïncide avec le centre de l'hexagone régulier. Il correspond notamment au point d'intersection des trois grandes diagonales qui relient les sommets opposés.

Relions maintenant le centre O aux six sommets de l'hexagone. Nous obtenons six triangles. Les six angles au centre ainsi formés sont égaux et leur mesure est :

$$ \frac{360°}{6} = 60° $$

Ces six triangles sont isométriques. D'après les critères d'isométrie des triangles, ils possèdent chacun deux côtés de même longueur, puisqu'il s'agit de rayons du cercle circonscrit à l'hexagone, ainsi qu'un angle compris de même mesure, égal à 60°.

Grâce à cette symétrie, il n'est pas nécessaire d'étudier les six triangles. Il suffit d'en considérer un seul, par exemple le triangle ABO.

Dans un hexagone régulier, chaque angle intérieur mesure 120°. Les segments OA et OB, qui relient le centre aux sommets A et B, sont les bissectrices des angles intérieurs correspondants. Ils les partagent donc en deux angles de 60°.

Le triangle ABO possède ainsi trois angles de 60°. C'est donc un triangle équilatéral.

Nous disposons maintenant de tous les éléments nécessaires pour établir la relation entre le rayon (r) du cercle inscrit et la longueur du côté (l) de l'hexagone.

Soit H le point de tangence du cercle inscrit avec le côté AB. Le segment OH est perpendiculaire à AB. Il représente à la fois un rayon du cercle inscrit et l'apothème de l'hexagone. Dans le triangle équilatéral ABO, OH est également une hauteur et une médiane. Il partage donc le triangle ABO en deux triangles rectangles : AHO et BHO.

Nous pouvons alors appliquer le théorème de Pythagore à l'un de ces triangles rectangles afin de déterminer la longueur du segment OH, c'est-à-dire le rayon r du cercle inscrit.

Appliquons le théorème de Pythagore au triangle AHO :

$$ \overline{OH} = \sqrt{\overline{AO}^2 - \overline{AH}^2} $$

Le segment OH étant précisément le rayon r du cercle inscrit, nous pouvons écrire :

$$ r = \sqrt{\overline{AO}^2 - \overline{AH}^2} $$

Comme le triangle ABO est équilatéral, le segment AO a la même longueur que le côté AB de l'hexagone, soit l.

Nous obtenons donc :

$$ r = \sqrt{l^2 - \overline{AH}^2} $$

Par ailleurs, OH est une médiane du triangle équilatéral ABO. Le point H est donc le milieu de AB, ce qui signifie que le segment AH mesure la moitié du côté de l'hexagone, soit l/2.

On peut alors remplacer AH par l/2 :

$$ r = \sqrt{l^2 - \left( \frac{l}{2} \right)^2} $$

Simplifions progressivement cette expression :

$$ r = \sqrt{l^2 - \frac{l^2}{4} } $$

$$ r = \sqrt{ \frac{4l^2 - l^2}{4} } $$

$$ r = \sqrt{ \frac{3l^2}{4} } $$

$$ r = \frac{l}{2} \sqrt{3} $$

Nous obtenons ainsi la relation entre le rayon du cercle inscrit et le côté de l'hexagone. Il reste maintenant à isoler l :

$$ r \cdot \frac{2}{\sqrt{3}} = \frac{l}{2} \sqrt{3} \cdot \frac{2}{\sqrt{3}} $$

$$ r \cdot \frac{2}{\sqrt{3}} = l $$

Pour rationaliser le dénominateur, multiplions la fraction de gauche par \(\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}\) :

$$ r \cdot \frac{2}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = l $$

$$ r \cdot \frac{2 \sqrt{3}}{ \sqrt{3} \cdot \sqrt{3} } = l $$

$$ r \cdot \frac{2 \sqrt{3}}{ \sqrt{3 \cdot 3} } = l $$

$$ r \cdot \frac{2 \sqrt{3}}{ \sqrt{3^2} } = l $$

$$ r \cdot \frac{2 \sqrt{3}}{3} = l $$

En réécrivant l'égalité dans l'ordre habituel, on obtient finalement :

$$ l = \frac{2 \sqrt{3}}{3} \cdot r $$

La formule reliant le rayon (r) du cercle inscrit à la longueur du côté (l) d'un hexagone régulier est ainsi démontrée.

Remarque. Puisque le rayon du cercle inscrit est égal à l'apothème d'un hexagone régulier (r = a), la formule peut également s'écrire sous la forme équivalente suivante : $$ l = \frac{2 \sqrt{3}}{3} \cdot a $$

On peut donc utiliser indifféremment le rayon du cercle inscrit ou l'apothème : dans un hexagone régulier, ces deux grandeurs correspondent à la même longueur.