Théorème de Thalès dans l'espace

Des plans parallèles $ \pi_1, \pi_2, \pi_3 $ coupent deux droites transversales $ r $ et $ s $. Les segments correspondants ainsi déterminés sur ces deux droites sont proportionnels.
Théorème de Thalès dans l'espace appliqué à deux droites transversales

Le théorème de Thalès dans l'espace généralise à la géométrie en trois dimensions le classique théorème de Thalès dans le plan.

L'idée essentielle est simple : lorsqu'une famille de plans parallèles coupe deux droites transversales, elle y détermine des segments correspondants proportionnels. Cette propriété reste valable que les deux transversales soient situées dans un même plan ou qu'elles soient gauches, c'est-à-dire non coplanaires.

Démonstration

Considérons une famille de plans parallèles $ \pi_1, \pi_2, \dots, \pi_n $.

Famille de plans parallèles dans l'espace

Pour démontrer le théorème, il faut distinguer deux situations. Dans la première, les deux droites transversales sont coplanaires. Dans la seconde, elles sont gauches et ne peuvent donc pas être contenues dans un même plan.

1] Cas de deux transversales coplanaires

Supposons d'abord que les droites transversales $ r $ et $ s $ soient contenues dans un même plan $ \alpha $.

Le plan $ \alpha $ coupe chacun des plans parallèles suivant une droite. Comme les plans sont parallèles entre eux, leurs droites d'intersection avec $ \alpha $ sont également parallèles. Elles passent respectivement par $ A $ et $ A' $, par $ B $ et $ B' $, par $ C $ et $ C' $, etc.

Deux transversales coplanaires coupées par des plans parallèles

Les droites $ (AA') $, $ (BB') $, $ (CC') $, etc. sont donc parallèles entre elles et toutes contenues dans le plan $ \alpha $, auquel appartiennent également les deux transversales $ r $ et $ s $.

Droites d'intersection parallèles dans le plan alpha

On retrouve ainsi une configuration classique du théorème de Thalès dans le plan. Deux transversales coupant une famille de droites parallèles déterminent des segments correspondants proportionnels. On obtient donc :

$$ \frac{AB}{BC} = \frac{A'B'}{B'C'} $$

De même :

$$ \frac{BC}{CD} = \frac{B'C'}{C'D'} $$

et :

$$ \frac{AC}{BC} = \frac{A'C'}{B'C'} $$

$$ \dots $$

Cette proportionnalité reste valable pour toute autre paire de segments correspondants déterminés sur les deux transversales par les plans parallèles.

Le théorème de Thalès dans l'espace est donc démontré lorsque les deux transversales sont coplanaires.

2] Cas de deux transversales gauches

Considérons maintenant une situation plus générale : les droites $ r $ et $ s $ sont gauches. Autrement dit, elles ne sont pas contenues dans un même plan.

Notons $ A, B, C, \dots $ les points où la droite $ r $ coupe les plans parallèles, et $ A', B', C', \dots $ les points où la droite $ s $ coupe ces mêmes plans.

Deux droites gauches coupées par une famille de plans parallèles

Dans cette configuration, il n'est pas possible d'appliquer directement le théorème de Thalès dans le plan, puisque $ r $ et $ s $ ne sont pas coplanaires. On introduit donc une droite auxiliaire $ r'' $, parallèle à $ r $ et passant par un point $ P $ de la droite $ s $.

Les droites $ r'' $ et $ s $ sont alors sécantes en $ P $. Elles déterminent donc un plan, ce qui permet de ramener le problème à une configuration plane et d'utiliser le théorème de Thalès.

Notons $ A'', B'', C'' $ les points où la droite $ r'' $ coupe les plans parallèles.

Construction d'une droite auxiliaire parallèle à la transversale r

Cette construction fait apparaître des parallélogrammes tels que $ ABB''A'' $ et $ ACC''A'' $.

Or, dans un parallélogramme, les côtés opposés sont parallèles et de même longueur. On a donc :

$ AB \cong A''B'' $

et :

$ AC \cong A''C'' $

Les segments correspondants ont donc la même longueur.

Parallélogrammes obtenus à partir des plans parallèles et des droites transversales

Puisque les droites $ r'' $ et $ s $ sont sécantes, elles déterminent un unique plan $ \alpha $. Elles sont donc coplanaires.

Droites r seconde et s coplanaires dans le plan alpha

Nous pouvons maintenant appliquer le théorème de Thalès dans le plan aux transversales $ r'' $ et $ s $. On obtient :

$$ \frac{A''B''}{B''C''} = \frac{A'B'}{B'C'} $$

ainsi que :

$$ \frac{A''C''}{B''C''} = \frac{A'C'}{B'C'} $$

Comme $ AB \cong A''B'' $, $ AC \cong A''C'' $ et, de même, $ BC \cong B''C'' $, on peut remplacer les longueurs correspondantes dans les rapports précédents. On obtient alors :

$$ \frac{AB}{BC} = \frac{A'B'}{B'C'} $$

et :

$$ \frac{AC}{BC} = \frac{A'C'}{B'C'} $$

Le théorème de Thalès dans l'espace est donc également vérifié lorsque les deux transversales sont gauches.

Le même raisonnement s'applique à tous les autres segments correspondants déterminés par la famille de plans parallèles.