Le repère cartésien

Le repère cartésien permet de situer précisément un point dans le plan grâce à deux coordonnées. Dans sa forme orthogonale habituelle, il est constitué de deux axes gradués et perpendiculaires :

• Un axe horizontal, appelé axe des abscisses ou axe des x.
• Un axe vertical, appelé axe des ordonnées ou axe des y.

Ces deux axes se coupent en un point appelé origine du repère, noté O. C'est le point de référence à partir duquel les coordonnées sont mesurées. Il correspond à la graduation zéro sur les deux axes.

Remarque : L'axe des abscisses a pour équation y=0 et l'axe des ordonnées a pour équation x=0. La première équation est un cas particulier de l'équation réduite d'une droite y=mx+p, avec m=0 et p=0. En revanche, l'axe des ordonnées est une droite verticale : son équation x=0 ne peut donc pas s'écrire sous la forme y=mx+p.

Les deux axes sont orientés et gradués. Par convention, les valeurs augmentent vers la droite sur l'axe des abscisses et vers le haut sur l'axe des ordonnées.

Sur l'axe des abscisses, les valeurs sont positives à droite de l'origine et négatives à gauche.

Sur l'axe des ordonnées, elles sont positives au-dessus de l'origine et négatives en dessous.

Chaque axe possède une unité de longueur qui permet de fixer ses graduations. Cette unité peut être identique sur les deux axes ou différente.

Remarque : Un repère est dit orthonormé, ou orthonormal, lorsque ses axes sont perpendiculaires et possèdent la même unité de longueur. Si les axes sont perpendiculaires mais que les unités de longueur sont différentes, il s'agit d'un repère orthogonal non orthonormé.

Dans un repère cartésien, chaque point du plan est repéré par un couple ordonné de nombres réels (x ; y). Ces deux nombres sont appelés les coordonnées cartésiennes du point.

Le premier nombre, x, est son abscisse. Il indique sa position horizontale. Le second, y, est son ordonnée. Il indique sa position verticale.

Par exemple, considérons le point P(3 ; 1). Son abscisse est égale à 3 et son ordonnée à 1. Pour le placer dans le repère, je pars de l'origine, je me déplace de trois unités vers la droite, puis d'une unité vers le haut.

L'origine O possède les coordonnées (0 ; 0), car son abscisse et son ordonnée sont toutes deux nulles : x=0 et y=0.

Une propriété fondamentale du repère cartésien est la correspondance bijective entre les points du plan et les couples ordonnés de nombres réels (x ; y). Autrement dit, chaque point possède des coordonnées uniques, et chaque couple de coordonnées désigne un seul point.

• À chaque point P du plan correspond un unique couple ordonné (x ; y) de nombres réels.
• Réciproquement, chaque couple ordonné (x ; y) de nombres réels correspond à un unique point P du plan.

Les quatre quadrants du repère cartésien

Les deux axes divisent le plan en quatre quadrants. Ils sont numérotés dans le sens trigonométrique, c'est-à-dire dans le sens inverse des aiguilles d'une montre, en partant de la région située en haut à droite.

Dans le premier quadrant, les deux coordonnées sont strictement positives : x>0 et y>0. Les points se trouvent donc à droite de l'axe des ordonnées et au-dessus de l'axe des abscisses.

Dans le deuxième quadrant, l'abscisse est strictement négative et l'ordonnée strictement positive : x<0 et y>0. Les points se trouvent en haut à gauche du repère.

Dans le troisième quadrant, les deux coordonnées sont strictement négatives : x<0 et y<0. Les points se trouvent en bas à gauche du repère.

Dans le quatrième quadrant, l'abscisse est strictement positive et l'ordonnée strictement négative : x>0 et y<0. Les points se trouvent en bas à droite du repère.

Pour déterminer le quadrant auquel appartient un point, il suffit donc d'examiner le signe de ses deux coordonnées. Si l'une d'elles est nulle, le point se trouve sur un axe et n'appartient à aucun des quatre quadrants.