Aire

En géométrie, l'aire est une grandeur qui mesure l'étendue d'une surface plane. On peut aussi la définir comme la mesure de la portion du plan délimitée par le contour d'une figure.

Cette notion s'applique aux figures bidimensionnelles, c'est-à-dire aux figures qui s'étendent selon deux dimensions.

L'aire est une grandeur scalaire. Sa valeur est un nombre réel positif ou nul qui permet de quantifier la taille d'une région ou d'une figure dans le plan.

Dans le Système international d'unités, l'unité de référence est le mètre carré (m²). On utilise aussi ses multiples et ses sous-multiples, comme le centimètre carré (cm²) ou le kilomètre carré (km²).

Selon le contexte, une aire peut également être exprimée dans d'autres unités, comme le pouce carré ou l'hectare (ha), très courant pour mesurer les superficies agricoles. Un hectare correspond à 10 000 mètres carrés.

Remarque. La notion d'aire est étudiée depuis l'Antiquité. Des mathématiciens grecs comme Euclide et Archimède ont mis au point des méthodes systématiques pour comparer et calculer les aires de différentes figures. Archimède a notamment développé des procédés permettant d'étudier l'aire du disque et celle d'autres figures délimitées par des courbes. Aujourd'hui, la notion d'aire est indispensable dans de nombreux domaines, bien au-delà des mathématiques pures, notamment en architecture, en génie civil, en agriculture et en géographie. Elle intervient chaque fois qu'il faut mesurer, aménager ou gérer un espace.

L'aire en physique

En physique, l'aire est une grandeur dérivée qui permet de mesurer l'étendue d'une surface.

On parle de grandeur dérivée parce qu'elle s'exprime à partir d'une grandeur fondamentale : la longueur (L).

Dans le Système international d'unités (SI), l'unité d'aire est le mètre carré (m²), c'est-à-dire l'aire d'un carré dont chaque côté mesure exactement 1 mètre.

Du point de vue de l'analyse dimensionnelle, une aire a la dimension du carré d'une longueur.

$$ \text{Aire} = [L] \cdot [L] = [L]^2 $$

Pour calculer l'aire de certaines figures planes, comme un rectangle, on multiplie la longueur de la base par la hauteur correspondante.

Prenons l'exemple d'un rectangle dont la base mesure 10 mètres et la hauteur 5 mètres :

$$ \text{Aire} = \text{base} \times \text{hauteur} = (10 \, \text{m}) \times (5 \, \text{m}) = 50 \, \text{m}^2 $$

Le calcul donne bien sûr la valeur numérique ($10 \times 5 = 50$), mais il montre aussi pourquoi l'unité obtenue est le mètre carré : les unités se multiplient elles aussi ($m \times m = m^2$).

Une aire de 50 m² peut donc être interprétée comme l'aire de 50 carrés unitaires d'un mètre de côté.

Calcul des aires

La formule à utiliser dépend de la figure géométrique considérée :

• Aire d'un triangle
  L'aire d'un triangle se calcule en multipliant la longueur d'une base par la hauteur correspondante, puis en divisant le résultat par deux. $$ A = \frac{Base \times Hauteur}{2} $$
• Aire d'un carré
  L'aire d'un carré s'obtient en élevant au carré la longueur de son côté. $$ A = côté \times côté = côté^2 $$
• Aire d'un rectangle ou d'un parallélogramme
  L'aire d'un rectangle ou d'un parallélogramme se calcule en multipliant la longueur d'une base par la hauteur correspondante. $$ A = Base \times Hauteur $$
• Aire d'un losange
  L'aire d'un losange est égale à la moitié du produit des longueurs de ses diagonales d₁ et d₂. $$ A = \frac{d_1 \times d_2}{2} $$
• Aire d'un trapèze
  L'aire d'un trapèze se calcule en multipliant la hauteur par la demi-somme des longueurs de ses deux bases, la grande base (Base) et la petite base (base). $$ A = \frac{(Base + base)}{2} \times Hauteur $$
• Aire d'un disque
  L'aire d'un disque est égale au produit du nombre pi par le carré de son rayon. $$ A = \pi r^2 $$
• Aire d'un polygone régulier
  L'aire d'un polygone régulier s'obtient en multipliant son périmètre par son apothème, puis en divisant le résultat par deux. $$ A = \frac{Périmètre \times Apothème}{2} $$
• Aire d'une figure irrégulière
  Pour calculer l'aire d'une figure irrégulière, on peut souvent la décomposer en figures géométriques plus simples dont on connaît déjà les aires. Lorsque la région est délimitée par des courbes, on peut également utiliser le calcul intégral.
  

  

   

Multiples et sous-multiples du mètre carré

Dans le système métrique, l'unité de référence pour mesurer les aires est le mètre carré (m²), qui correspond à l'aire d'un carré dont les côtés mesurent un mètre.

Ses principaux multiples et sous-multiples sont les suivants :

mm2	millimètres carrés
cm2	centimètres carrés
dm2	décimètres carrés
m2	mètres carrés
dam2	décamètres carrés
hm2	hectomètres carrés
km2	kilomètres carrés

Entre deux unités d'aire consécutives de cette échelle, le facteur de conversion est 100.

Par exemple, un mètre carré (m²) équivaut à 100 décimètres carrés (dm²) et à 0,01 décamètre carré (dam²).

Conversion des unités d'aire

Une aire peut être exprimée à l'aide des multiples ou des sous-multiples du mètre carré. Par exemple :

• Centimètre carré ($cm^2$) : $1 \, cm^2 = 10^{-4} \, m^2$.
• Millimètre carré ($mm^2$) : $1 \, mm^2 = 10^{-6} \, m^2$.
• Kilomètre carré ($km^2$) : $1 \, km^2 = 10^6 \, m^2$.

Ces facteurs de conversion sont indispensables pour passer correctement d'une unité d'aire à une autre.

Par exemple, puisque $1 \, cm = 10^{-2} \, m$, il faut élever le facteur de conversion au carré pour passer des centimètres carrés aux mètres carrés :

$$ 1 \, cm^2 = (10^{-2} \, m) \times (10^{-2} \, m) = 10^{-4} \, m^2 $$

Le même principe s'applique aux millimètres carrés :

$$ 1 \, mm^2 = (10^{-3} \, m) \times (10^{-3} \, m) = 10^{-6} \, m^2 $$

Il en va de même pour les kilomètres carrés :

$$ 1 \, km^2 = (10^3 \, m) \times (10^3 \, m) = 10^6 \, m^2 $$

En pratique, il faut donc toujours se rappeler que, pour les unités d'aire, le facteur de conversion des longueurs est élevé au carré.

Par exemple, si je dispose d'une aire de 100 m² et que je souhaite la convertir en décimètres carrés (dm²), je dois multiplier par 10 au carré, et non simplement par 10 comme je le ferais pour une longueur. $$ 100 \ m^2 = 100 \cdot 10^2 \ dm^2 = 10000 \ dm^2 $$ Si je souhaite convertir cette aire en centimètres carrés (cm²), j'applique le carré de 10². $$ 100 \ m^2 = 100 \cdot (10^2)^2 \ cm^2 = 100 \cdot 10^4 \ cm^2 = 10^6 \ cm^2 $$ Pour la convertir en millimètres carrés (mm²), j'utilise le carré de 10³. $$ 100 \ m^2 = 100 \cdot (10^3)^2 \ mm^2 = 100 \cdot 10^6 \ mm^2 = 10^8 \ mm^2 $$ Le même principe s'applique à toutes les autres conversions d'unités d'aire.

Classes d'équivalence pour l'aire

Deux figures géométriques sont dites équivalentes lorsqu'elles ont la même aire.

La relation « avoir la même aire » permet donc de regrouper les figures géométriques en classes d'équivalence.

Les polygones qui ont la même aire appartiennent à une même classe d'équivalence et sont également appelés polygones équivalents.

Le même principe s'applique à toutes les figures géométriques de même aire.