Ejemplo de integral 31

Queremos calcular la siguiente integral:

$$ \int \frac{1}{(1+x^2) \cdot \arctan x} \ dx $$

A primera vista puede parecer complicada, pero en realidad se simplifica con una buena elección de sustitución. Utilizamos el método de integración por sustitución, que consiste en transformar la integral en otra más sencilla mediante un cambio de variable adecuado.

Observamos que en el denominador aparece la función \( \arctan x \) acompañada del factor \( 1+x^2 \). Sabemos que el diferencial de la arcotangente es:

$$ d ( \arctan x ) = \frac{1}{1+x^2} \ dx $$

Si despejamos \( dx \), obtenemos:

$$ dx = (1+x^2) \ d ( \arctan x ) $$

Sustituimos ahora esta expresión en la integral original:

$$ \int \frac{1}{(1+x^2) \arctan x} \ dx $$

$$ \int \frac{1}{(1+x^2) \arctan x} \cdot (1+x^2) \ d ( \arctan x ) $$

Los factores \( (1+x^2) \) se cancelan, y la integral se simplifica notablemente:

$$ \int \frac{1}{\arctan x} \ d ( \arctan x ) $$

En este punto hacemos el cambio de variable t = \(\arctan(x)\). La integral pasa a ser:

$$ \int \frac{1}{t} \ dt $$

Esta es una integral elemental cuyo resultado es bien conocido:

$$ \int \frac{1}{t} \ dt = \ln|t| + C $$

Finalmente, volvemos a la variable original sustituyendo \( t = \arctan(x) \):

$$ \ln|\arctan x| + C $$

Por lo tanto, el resultado de la integral inicial es:

$$ \int \frac{1}{(1+x^2) \arctan x} \ dx = \ln|\arctan x| + C $$

Con una sustitución adecuada, una integral que parecía compleja se reduce a una forma básica. Esa es la clave de este tipo de ejercicios.