Ejercicio 26 de cálculo integral

En este ejercicio vamos a calcular la siguiente integral:

$$ \int \cot (ax+b) \ dx $$

Para resolverla de forma clara y ordenada, aplicamos el método de sustitución. Introducimos la variable auxiliar u = ax + b:

$$ u = ax + b $$

Calculamos su diferencial:

$$ du = a \ dx $$

Despejamos \( dx \):

$$ dx = \frac{1}{a} \ du $$

Sustituimos dx = \(\frac{1}{a} \, du\) en la integral original:

$$ \int \cot (ax + b) \cdot \frac{1}{a} \ du $$

Ahora reemplazamos \( ax + b \) por \( u \):

$$ \int \cot (u) \cdot \frac{1}{a} \ du $$

Como \( \frac{1}{a} \) es una constante, podemos extraerla fuera de la integral:

$$ \frac{1}{a} \int \cot (u) \ du $$

Recordemos que la cotangente puede escribirse como

$$ \cot(u) = \frac{\cos(u)}{\sin(u)} $$

Por lo tanto, la integral queda:

$$ \frac{1}{a} \int \frac{\cos(u)}{\sin(u)} \ du $$

Para simplificarla, realizamos una segunda sustitución. Tomamos t = \(\sin(u)\):

$$ t = \sin(u) $$

Entonces:

$$ dt = \cos(u) \ du $$

Despejamos \( du \):

$$ du = \frac{1}{\cos(u)} \ dt $$

Sustituimos en la integral:

$$ \frac{1}{a} \int \frac{\cos(u)}{\sin(u)} \cdot \frac{1}{\cos(u)} \ dt $$

Simplificando la expresión:

$$ \frac{1}{a} \int \frac{1}{\sin(u)} \ dt $$

Ahora sustituimos \( \sin(u) \) por \( t \):

$$ \frac{1}{a} \int \frac{1}{t} \ dt $$

Esta es una integral básica:

\( \int \frac{1}{t} dt = \ln |t| + C \)

Por lo tanto, obtenemos:

$$ \frac{1}{a} \ln |t| + C $$

Deshacemos el cambio de variable recordando que \( t = \sin(u) \):

$$ \frac{1}{a} \ln |\sin(u)| + C $$

Y finalmente sustituimos \( u = ax + b \):

$$ \frac{1}{a} \ln |\sin(ax + b)| + C $$

Esta es la expresión final de la primitiva, o antiderivada, de la función inicial.

Así concluimos la resolución paso a paso de la integral.