Ejercicio 6 de cálculo de integrales

En este ejercicio vamos a calcular la siguiente integral definida:

$$ \int_1^{\sqrt{e}} \frac{\log(x) - 2}{x[\log^2(x) - 1]} \ dx $$

Para resolverla conviene aplicar un cambio de variable que simplifique la expresión. Introducimos la variable auxiliar:

$$ t = \log(x) $$

Al diferenciar ambos lados obtenemos:

$$ dt = \frac{1}{x} \ dx $$

Este cambio de variable nos permitirá reescribir la integral en términos de $ t $.

Primero transformamos los límites de integración:

$$ \log(1) = 0, \quad \log(\sqrt{e}) = \frac{1}{2} $$

Por lo tanto, el intervalo de integración pasa de $ [1,\sqrt{e}] $ a $ [0,\frac{1}{2}] $.

Sustituimos ahora $ t = \log(x) $ en el integrando:

$$ \int_0^{\frac{1}{2}} \frac{t - 2}{x(t^2 - 1)} \ dx $$

Utilizando el diferencial $ dt = \frac{1}{x} dx $, la integral se simplifica a:

$$ \int_0^{\frac{1}{2}} \frac{t - 2}{t^2 - 1} \ dt $$

El siguiente paso consiste en factorizar el denominador. Recordemos la identidad:

$$ t^2 - 1 = (t - 1)(t + 1) $$

Así, la integral se convierte en:

$$ \int_0^{\frac{1}{2}} \frac{t - 2}{(t - 1)(t + 1)} \ dt $$

Para integrar esta expresión utilizamos el método de descomposición en fracciones parciales. Escribimos:

$$ \frac{t - 2}{(t - 1)(t + 1)} = \frac{A}{t - 1} + \frac{B}{t + 1} $$

Multiplicamos ambos lados por el denominador común y simplificamos:

$$ t - 2 = A(t + 1) + B(t - 1) $$

Desarrollando la expresión obtenemos:

$$ t - 2 = t(A + B) + (A - B) $$

Igualando coeficientes llegamos al siguiente sistema:

$$ A + B = 1 $$

$$ A - B = -2 $$

Al resolverlo se obtiene:

$$ A = -\frac{1}{2}, \quad B = \frac{3}{2} $$

Sustituyendo estos valores en la integral obtenemos:

$$ \int_0^{\frac{1}{2}} \left( \frac{-\frac{1}{2}}{t - 1} + \frac{\frac{3}{2}}{t + 1} \right) \ dt $$

$$ -\frac{1}{2} \int_0^{\frac{1}{2}} \frac{1}{t - 1} \ dt + \frac{3}{2} \int_0^{\frac{1}{2}} \frac{1}{t + 1} \ dt $$

Ambas son integrales elementales. Sus primitivas son:

$$ \log|t - 1| \quad \text{y} \quad \log|t + 1| $$

Por lo tanto:

$$ -\frac{1}{2} \left[ \log|t - 1| \right]_0^{\frac{1}{2}} + \frac{3}{2} \left[ \log|t + 1| \right]_0^{\frac{1}{2}} $$

Nota. No se incluye la constante de integración porque se trata de una integral definida.

Evaluamos ahora las expresiones logarítmicas:

$$ -\frac{1}{2} \left( \log\left| \frac{1}{2} - 1 \right| - \log|-1| \right) + \frac{3}{2} \left( \log\left| \frac{3}{2} \right| - \log|1| \right) $$

Como $ \log|1| = 0 $ y $ \log|-1| = \log(1) = 0 $, la expresión se simplifica a:

$$ -\frac{1}{2} \log\left( \frac{1}{2} \right) + \frac{3}{2} \log\left( \frac{3}{2} \right) $$

En conclusión, el valor de la integral definida es:

$$ \frac{3}{2} \cdot \log\left( \frac{3}{2} \right) - \frac{1}{2} \cdot \log\left( \frac{1}{2} \right) $$

Y con esto queda completado el cálculo de la integral.