Ejercicio de cálculo integral 7
En este ejercicio vamos a evaluar la siguiente integral indefinida:
$$ \int \frac{x^2}{4x^2+1} \ dx $$
A primera vista, el integrando no parece especialmente sencillo. Sin embargo, con una pequeña manipulación algebraica podemos transformarlo en una expresión mucho más manejable.
La idea es reescribir el numerador en relación con el denominador. Para ello, empezamos multiplicando y dividiendo por 4:
$$ \int \frac{4}{4} \cdot \frac{x^2}{4x^2+1} \ dx $$
$$ \int \frac{1}{4} \cdot \frac{4x^2}{4x^2+1} \ dx $$
Ahora extraemos la constante:
$$ \frac{1}{4} \int \frac{4x^2}{4x^2+1} \ dx $$
El siguiente paso consiste en sumar y restar 1 en el numerador, lo que no altera la expresión pero sí facilita la descomposición:
$$ \frac{1}{4} \int \frac{4x^2 + 1 - 1}{4x^2+1} \ dx $$
$$ \frac{1}{4} \int \left( \frac{4x^2 + 1}{4x^2+1} - \frac{1}{4x^2+1} \right) dx $$
Observamos que el primer término se simplifica directamente:
$$ \frac{1}{4} \int \left( 1 - \frac{1}{4x^2+1} \right) dx $$
Gracias a la linealidad de la integral, podemos separar:
$$ \frac{1}{4} \left[ \int 1 \ dx - \int \frac{1}{4x^2+1} \ dx \right] $$
La primera integral es inmediata:
\( \int 1 \ dx = x + c \)
Sustituimos este resultado:
$$ \frac{1}{4} \left[ x + c - \int \frac{1}{4x^2+1} \ dx \right] $$
Para resolver la segunda integral, reescribimos el denominador usando la identidad \( 4x^2 = (2x)^2 \):
$$ \frac{1}{4} \left[ x + c - \int \frac{1}{(2x)^2 + 1} \ dx \right] $$
Aplicamos el método de sustitución, definiendo:
$$ u = 2x $$
Al derivar:
$$ du = 2 \ dx \quad \Rightarrow \quad dx = \frac{du}{2} $$
Sustituimos en la integral:
$$ \frac{1}{4} \left[ x + c - \int \frac{1}{u^2 + 1} \cdot \frac{du}{2} \right] $$
Extraemos la constante:
$$ \frac{1}{4} \left[ x + c - \frac{1}{2} \int \frac{1}{u^2 + 1} \ du \right] $$
Reconocemos una integral elemental:
\( \int \frac{1}{u^2 + 1} \ du = \arctan(u) + c \)
Volviendo a la variable original:
$$ \frac{1}{4} \left[ x + c - \frac{1}{2} \arctan(2x) \right] $$
Desarrollamos la expresión:
$$ \frac{x}{4} - \frac{1}{8} \arctan(2x) + c $$
Concluimos que:
$$ \int \frac{x^2}{4x^2+1} \ dx = \frac{x}{4} - \frac{1}{8} \arctan(2x) + c $$
Este ejemplo muestra cómo una simple estrategia algebraica puede convertir una integral aparentemente compleja en una suma de integrales estándar.
