Ejercicio de integración
Calculemos la integral:
$$ \int \frac{3e^{3x}}{6-e^{3x}} \, dx $$
A primera vista, el integrando puede parecer poco manejable. Sin embargo, se simplifica rápidamente aplicando el método de integración por sustitución.
Tomamos la sustitución:
u = 6 - e3x
$$ u = 6 - e^{3x} $$
Derivamos para obtener el diferencial:
$$ \begin{align*} u &= 6 - e^{3x} \\ \frac{du}{dx} &= -3e^{3x} \\ du &= -3e^{3x} \, dx \\ dx &= -\frac{1}{3e^{3x}} \, du \end{align*} $$
Sustituimos en la integral original:
$$ \int \frac{3e^{3x}}{6-e^{3x}} \, dx = \int \frac{3e^{3x}}{u} \cdot \left( -\frac{1}{3e^{3x}} \, du \right) $$
Al simplificar, los términos exponenciales se cancelan:
$$ \int -\frac{1}{u} \, du $$
Aplicamos la linealidad de la integral:
$$ -\int \frac{1}{u} \, du $$
Esta es una integral elemental:
$$ -\ln|u| + C $$
Finalmente, volvemos a la variable \( x \):
$$ -\ln|6 - e^{3x}| + C $$
Resultado:
$$ \int \frac{3e^{3x}}{6-e^{3x}} \, dx = -\ln|6 - e^{3x}| + C $$
Un ejemplo claro de cómo una sustitución adecuada convierte una expresión aparentemente compleja en un cálculo directo
