Ejercicio 12 de cálculo integral
Queremos determinar una antiderivada, es decir, una función primitiva, de la expresión
$$ F(x) = \int \frac{ \log^2[\sin(x)] }{\sin^2(x)} \cdot \sin(x) \ dt $$
con la condición inicial
$$ F\left(\frac{\pi}{2}\right) = 1 $$
Para incorporar esta condición de forma directa, fijamos el límite inferior de integración en \( \pi/2 \):
$$ F(x) = \int_{\frac{\pi}{2}}^x \frac{ \log^2[\sin(t)] }{\sin^2(t)} \cdot \sin(t) \ dt $$
Como la integral definida vale cero cuando \( x = \pi/2 \), basta añadir 1:
$$ F(x) = 1 + \int_{\frac{\pi}{2}}^x \frac{ \log^2[\sin(t)] }{\sin^2(t)} \cdot \sin(t) \ dt $$
Así garantizamos que \( F(\pi/2) = 1 \).
Cálculo de la integral
Aplicamos la identidad del ángulo doble del seno:
\(\sin(2t) = 2\sin(t)\cos(t)\)
$$ F(x) = 1 + \int_{\frac{\pi}{2}}^x \frac{ \log^2[\sin(t)] }{\sin^2(t)} \cdot 2 \sin(t) \cos(t) \ dt $$
Se simplifica un factor \( \sin(t) \):
$$ F(x) = 1 + \int_{\frac{\pi}{2}}^x \frac{ \log^2[\sin(t)] }{\sin(t)} \cdot 2 \cos(t) \ dt $$
Reordenamos:
$$ F(x) = 1 + 2 \int_{\frac{\pi}{2}}^x \frac{ \log^2[\sin(t)] }{\sin(t)} \cos(t) \ dt $$
Observamos ahora un detalle clave. El término
$$ \frac{\cos(t)}{\sin(t)} \, dt $$
es exactamente el diferencial de \( \log[\sin(t)] \):
$$ F(x) = 1 + 2 \int_{\frac{\pi}{2}}^x \log^2[\sin(t)] \, d(\log[\sin(t)]) $$
Explicación. $$ \frac{d}{dt}\left[\log(\sin(t))\right] = \frac{1}{\sin(t)} \cdot \cos(t) = \frac{\cos(t)}{\sin(t)} $$
Introducimos el cambio de variable
$$ s = \log(\sin(t)) $$
La integral se convierte en:
$$ F(x) = 1 + 2 \int_{\frac{\pi}{2}}^x s^2 \ ds $$
Integramos:
$$ F(x) = 1 + 2 \left[ \frac{s^3}{3} \right]_{\frac{\pi}{2}}^x $$
Volvemos a la variable original:
$$ F(x) = 1 + 2 \left[ \frac{ \log^3[\sin(t)] }{3} \right]_{\frac{\pi}{2}}^x $$
$$ F(x) = 1 + \frac{2}{3} \left[ \log^3[\sin(t)] \right]_{\frac{\pi}{2}}^x $$
Evaluamos los extremos:
$$ F(x) = 1 + \frac{2}{3} \left[ \log^3[\sin(x)] - \log^3\left(\sin\left(\frac{\pi}{2}\right)\right) \right] $$
Como \( \sin(\pi/2) = 1 \) y \( \log(1) = 0 \):
$$ F(x) = 1 + \frac{2}{3} \log^3[\sin(x)] $$
Resultado final
$$ F(x) = 1 + \frac{2}{3} \log^3[\sin(x)] $$
Ejercicio resuelto.
