Ejercicio 22. Evaluación de una integral

Calculemos la siguiente integral indefinida:

$$ \int \frac{\cos x}{2 - \cos^2 x} \ dx $$

Una forma directa de abordarla consiste en aplicar el método de sustitución.

Recordemos que la derivada de $ \sin x $ es:

$$ d(\sin x) = \cos x \ dx $$

De aquí despejamos $ dx $:

$$ dx = \frac{d(\sin x)}{\cos x} $$

Sustituimos esta expresión en la integral:

$$ \int \frac{\cos x}{2 - \cos^2 x} \cdot \frac{d(\sin x)}{\cos x} $$

Los factores $ \cos x $ se cancelan y la integral se simplifica a:

$$ \int \frac{1}{2 - \cos^2 x} \ d(\sin x) $$

$$ \sin^2 x + \cos^2 x = 1 $$

De ella se deduce que:

$ \cos^2 x = 1 - \sin^2 x $

La sustituimos en el denominador:

$$ \int \frac{1}{2 - (1 - \sin^2 x)} \ d(\sin x) $$

Simplificando:

$$ \int \frac{1}{1 + \sin^2 x} \ d(\sin x) $$

Realizamos el cambio de variable $ t = \sin x $:

$$ \int \frac{1}{1 + t^2} \ dt $$

Esta es una integral elemental bien conocida:

$ \int \frac{1}{1 + t^2} \ dt = \arctan(t) + c $

Finalmente, regresamos a la variable original:

$$ \arctan(\sin x) + c $$

Por tanto, el resultado es:

$$ \int \frac{\cos x}{2 - \cos^2 x} \ dx = \arctan(\sin x) + c $$

Así queda completada la evaluación.